Арифметическая прогрессия — как решать? Прогрессия как решать


Арифметическая прогрессия на примерах

Арифметической прогрессией называют последовательность чисел (членов прогрессии ) члены прогрессиив которой каждый последующий член отличается от предыдущего на сталое слагаемое, которое еще называют шагом или разницей прогрессии.

разница прогрессии, формула

Таким образом, задавая шаг прогрессии и ее первый член можно найти любой ее элемент по формуле

н-й член прогрессии, формула

1) Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго номера является средним арифметическим от предыдущего и следующего члена прогрессии

свойство прогрессии

Обратное утверждение также верно. Если среднее арифметическое соседних нечетных (четных) членов прогрессии равно члену, который стоит между ними, то данная последовательность чисел является арифметической прогрессией . По этим утверждением очень просто проверить любую последовательность.

Также по свойству арифметической прогрессии, приведенную выше формулу можно обобщить до следующей

свойство прогрессии

В этом легко убедиться, если расписать слагаемые справа от знака равенства

свойство прогрессии

Ее часто применяют на практике для упрощения вычислений в задачах.

2) Сумма n первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле

сумма арифметической прогрессии

Запомните хорошо формулу суммы арифметической прогрессии, она незаменима при вычислениях и довольно часто встречается в простых жизненных ситуациях.

3) Если нужно найти не всю сумму, а часть последовательности начиная с k-го ее члена, то в Вам пригодится следующая формула суммы

сумма арифметической прогрессии

4) Практический интерес представляет отыскание суммы n членов арифметической прогрессии начиная с k-го номера . Для этого используйте формулу

сумма арифметической прогрессии

На этом теоретический материал заканчивается и переходим к решению распространенных на практике задач.

 

Пример 1. Найти сороковой член арифметической прогрессии 4;7;...

Решение:

Согласно условию имеем

Определим шаг прогрессии

По известной формуле находим сороковой член прогрессии

 

Пример2. Арифметическая прогрессия задана третьим и седьмым ее членом . Найти первый член прогрессии и сумму десяти.

Решение:

Распишем заданные элементы прогрессии по формулам

От второго уравнения вычтем первое, в результате найдем шаг прогрессии

Найденное значение подставляем в любое из уравнений для отыскания первого члена арифметической прогрессии

Вычисляем сумму первых десяти членов прогрессии

сумма арифметической прогрессии

Не применяя сложных вычислений ми нашли все искомые величины.

 

Пример 3. Арифметическую прогрессию задано знаменателем и одним из ее членов . Найти первый член прогрессии, сумму 50 ее членов начиная с 50 и сумму 100 первых.

Решение:

Запишем формулу сотого элемента прогрессии

и найдем первый

На основе первого находим 50 член прогрессии

Находим сумму части прогрессии

сумма арифметической прогрессии

и сумму первых 100

сумма арифметической прогрессии

Сумма прогрессии равна 250.

 

Пример 4.

Найти число членов арифметической прогрессии, если:

а3-а1=8, а2+а4=14, Sn=111.

Решение:

Запишем уравнения через первый член и шаг прогрессии и определим их

Полученные значения подставляем в формулу суммы для определения количества членов в сумме

Выполняем упрощения

и решаем квадратное уравнение

Из найденных двух значений условии задачи подходит только число 8 . Таким образом сумма первых восьми членов прогрессии составляет 111.

 

Пример 5.

Решить уравнение

1+3+5+...+х=307.

Решение: Данное уравнение является суммой арифметической прогрессии. Выпишем первый ее член и найдем разницу прогрессии

Найденные величины подставим в формулу суммы прогрессии для отыскания числа слагаемых

Как и в предыдущем задании, выполним упрощения и решим квадратное уравнение

Выбираем более логичное из двух значений . Имеем, что сумма 18 членов прогрессии с заданными величинами а1=1, d=2 равна Sn=307.

На этом знакомство с арифметической прогрессией только начинается. В книгах вы найдете много подобных задач, методика решений которых не была рассмотрена . Приведенного материала должно хватить Вам с головой, чтобы разобраться и решить задачи самостоятельно. Если же нет то обращайтесь и мы Вам поможем с вычислениями.

Похожие материалы:

yukhym.com

Арифметическая прогрессия — как решать?

  • Основные формулы арифметической прогрессии:1)для n-го члена прогрессии:an=a1+d(n-1),где an и a1 -1-й и n-й члены прогрессии,d-разность прогрессии,2)Сумма n членов прогрессии:Sn=(a1+an)*n2.Все остальные формулы -это следствие этих 2-х формул.В каждой задаче по известным параметрам из формул находится какой-то неизвестный параметр.Известна самая знаменитая задача с использованием арифметической прогрессии:Учитель задал задачу ученикам:Просуммировать все числа от 1 до 100.И пока все ученики старательно считали,один из учеников за минуту высчитал сумму:5050!И это был маленький Гаусс!Он догадался-как быстро сосчитать эту непростую сумму:S100=(1+100)*1002=5050!

  • Чтобы решать задачи по арифметической прогрессии, надо хорошо понять, что же это такое.

    Последовательность, у которой каждый е член, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической прогрессией (далее - АП).

    Чаще всего в задачах подобного рода ставятся такие вопросы: нахождение первого члена АП, n-го члена, разности АП, суммы всех членов АП.

    Из определения АП можно определить связь соседних членов АП

    An+1=An+d, например, A5=6, а d=2, то A6=A5+d=6+2=8

    При известном первом члене и разности АП находится любой е член по формуле

    (An): An=A1+d(n-1)

    Используя эту же формулу, можно найти первый член АП

    A1=An-d(n-1)

    Формула разности (при известных первом и n-ом члене АП)

    d=(An-A1)/(n-1)

    Сумма членов АП

    Sn=(A1+An)n/2

    Или, если не известен n-ый член АП, но знаем шаг d и номер n-ого члена АП

    Sn=(2A1+(n-1)dn)/2

    Лучше разобраться в этом вопросе поможет видеоурок

  • Вопрос, как решать арифметическую прогрессию, ставит поначалу в тупик многих учеников. Быть может, это происходит от того, что кажется сложным само название, а может, оттого, что формулы арифметической прогрессии выглядят устрашающе.

    На самом деле, арифметическую прогрессию решать совсем несложно, если хорошо понять, что это такое.

    А суть арифметической прогрессии состоит в том, что каждый последующий член прогрессии равен сумме предыдущего с неким постоянным числом. Математически это можно выразить формулой:

    Эта формула позволяет найти любой член арифметической прогрессии.

    Давайте проверим. Допустим, число d, которое называется разностью арифметической прогрессии, равно 3.

    А первое число прогрессии равно 1. Тогда 4-й член арифметической прогрессии равен:

    a4= 1 + 3(4-1)= 10

    Давайте проверим, просто суммируя каждый член прогрессии:

    а2=1+3=4

    а3=4+3=7

    а4=7+3=10

    Все сошлось.

    Как видите, решать арифметическую прогрессиию несложно, если понять ее смысл.

  • Арифметическая прогрессия - это ряд чисел, последующее число которого получается в результате сложения предыдущего числа и коэффициента арифметической прогрессии. Например, 2, 6, 10, 14, и т. д. Коэффициент арифметической прогрессии в данном случае равняется 4.

  • info-4all.ru

    Как решать арифметические прогрессии | Сделай все сам

    Арифметическая прогрессия — это такая последовательность, у которой всякий ее член, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом d (шагом либо разностью арифметической прогрессии). Почаще каждого в задачах с арифметическими прогрессиями ставятся такие вопросы, как нахождение первого члена арифметической прогрессии, n-го члена, нахождение разности арифметической прогрессии, суммы всех членов арифметической прогрессии. Разглядим весь из этих вопросов больше детально.

    Вам понадобится

    • Умение исполнять основные математические действия.

    Инструкция

    1. Из определения арифметической прогрессии следует дальнейшая связь соседних членов арифметической прогрессии — An+1=An+d, скажем, A5=6, а d=2, то A6=A5+d=6+2=8.

    2. Если вестим 1-й член (A1) и разность (d) арифметической прогрессии, то дозволено обнаружить всякий ее член, использую формулу n-го члена арифметической прогрессии (An): An=A1+d(n-1). Скажем, пускай A1=2, d=5. Обнаружим, A5 и A10. A5=A1+d(5-1)=2+5(5-1)=2+5*4=2+20=22, а A10=A1+d(10-1)=2+5(10-1)=2+5*9=2+45=47.

    3. Применяя предыдущую формулу дозволено обнаружить 1-й член арифметической прогрессии. A1 тогда будет находиться по формуле A1=An-d(n-1), то есть если предположить, что A6=27, а d=3, A1=27-3(6-1)=27-3*5=27-15=12.

    4. Дабы обнаружить разность (шаг) арифметической прогрессии, нужно знать 1-й и n-ый член арифметической прогрессии, зная их, разность арифметической прогрессии находится по формуле d=(An-A1)/(n-1). Скажем, A7=46, A1=4, тогда d=(46-4)/(7-1)=42/6=7. Если d>0, то прогрессия именуется нарастающей, если d<0 — убывающей.

    5. Сумму первых n членов арифметической прогрессии дозволено обнаружить по дальнейшей формуле. Sn=(A1+An)n/2, где Sn — сумма n членов арифметической прогрессии, A1, An — 1-ый и n-ый член арифметической прогрессии соответственно. Воспользуемся данными из предыдущего примера, тогда Sn=(4+46)7/2=50*7/2=350/2=175.

    6. Если же n-ый член арифметической прогрессии неведом, но но знаменит шаг арифметической прогрессии и номер n-го члена, то, дабы обнаружить сумму арифметической прогрессии, дозволено воспользоваться формулой Sn=(2A1+(n-1)dn)/2. Скажем, A1=5, n=15, d=3, тогда Sn=(2*5+(15-1)*3*15)/2=(10+14*45)/2=(10+630)/2=640/2=320.

    Арифметической последовательностью называют такой упорядоченный комплект чисел, весь член которого, помимо первого, отличается от предыдущего на одну и ту же величину. Эта непрерывная величина именуется разностью прогрессии либо ее шагом и может быть рассчитана по вестимым членам арифметической прогрессии.

    Инструкция

    1. Если из условий задачи знамениты значения первого и второго либо всякий иной пары соседних членов арифметической прогрессии, для вычисления разности (d) примитивно отнимите от дальнейшего члена предшествующий. Получившаяся величина может быть как правильным, так и негативным числом — это зависит от того, является ли прогрессия нарастающей либо убывающей. В всеобщей форме решение для произвольно взятой пары (a? и a???) соседних членов прогрессии запишите так: d = a??? — a?.

    2. Для пары членов такой прогрессии, один из которых является первым (a?), а иной — любым иным произвольно выбранным, тоже дозволено составить формулу нахождения разности (d). Впрочем в этом случае непременно должен быть знаменит порядковый номер (i) произвольного выбранного члена последовательности. Для вычисления разности сложите оба числа, а полученный итог поделите на уменьшенный на единицу порядковый номер произвольного члена. В всеобщем виде эту формулу запишите так: d = (a?+ a?)/(i-1).

    3. Если помимо произвольного члена арифметической прогрессии с порядковым номером i знаменит иной ее член с порядковым номером u, измените формулу из предыдущего шага соответствующим образом. В этом случае разностью (d) прогрессии будет сумма этих 2-х членов, поделенная на разность их порядковых номеров: d = (a?+a?)/(i-v).

    4. Формула вычисления разности (d) несколько усложнится, если в условиях задачи дано значение первого ее члена (a?) и сумма (S?) заданного числа (i) первых членов арифметической последовательности. Для приобретения желанного значения поделите сумму на число составивших ее членов, отнимите значение первого числа в последовательности, а итог удвойте. Получившуюся величину поделите на уменьшенное на единицу число членов, составивших сумму. В всеобщем виде формулу вычисления дискриминанта запишите так: d = 2*(S?/i-a?)/(i-1).

    Видео по теме

    Обратите внимание! Всякий член арифметической прогрессии, начиная со второго, является средним арифметическим предыдущего и дальнейшего члена прогрессии: An=(An-1+An+1)/2.

    jprosto.ru

    Арифметическая прогрессия как решать?

    1
    • Авто и мото
      • Автоспорт
      • Автострахование
      • Автомобили
      • Сервис, Обслуживание, Тюнинг
      • Сервис, уход и ремонт
      • Выбор автомобиля, мотоцикла
      • ГИБДД, Обучение, Права
      • Оформление авто-мото сделок
      • Прочие Авто-темы
    • ДОСУГ И РАЗВЛЕЧЕНИЯ
      • Искусство и развлечения
      • Концерты, Выставки, Спектакли
      • Кино, Театр
      • Живопись, Графика
      • Прочие искусства
      • Новости и общество
      • Светская жизнь и Шоубизнес
      • Политика
      • Общество
      • Общество, Политика, СМИ
      • Комнатные растения
      • Досуг, Развлечения
      • Игры без компьютера
      • Магия
      • Мистика, Эзотерика
      • Гадания
      • Сны
      • Гороскопы
      • Прочие предсказания
      • Прочие развлечения
      • Обработка видеозаписей
      • Обработка и печать фото
      • Прочее фото-видео
      • Фотография, Видеосъемка
      • Хобби
      • Юмор
    • Другое
      • Военная служба
      • Золотой фонд
      • Клубы, Дискотеки
      • Недвижимость, Ипотека
      • Прочее непознанное
      • Религия, Вера
      • Советы, Идеи
      • Идеи для подарков
      • товары и услуги
      • Прочие промтовары
      • Прочие услуги
      • Без рубрики
      • Бизнес
      • Финансы
    • здоровье и медицина
      • Здоровье
      • Беременность, Роды
      • Болезни, Лекарства
      • Врачи, Клиники, Страхование
      • Детское здоровье
      • Здоровый образ жизни
      • Красота и Здоровье
    • Eда и кулинария
      • Первые блюда
      • Вторые блюда
      • Готовим в …
      • Готовим детям
      • Десерты, Сладости, Выпечка
      • Закуски и Салаты
      • Консервирование
      • На скорую руку
      • Напитки
      • Покупка и выбор продуктов
      • Прочее кулинарное
      • Торжество, Праздник
    • Знакомства, любовь, отношения
      • Дружба
      • Знакомства
      • Любовь
      • Отношения
      • Прочие взаимоотношения
      • Прочие социальные темы
      • Расставания
      • Свадьба, Венчание, Брак
    • Компьютеры и интернет
      • Компьютеры
      • Веб-дизайн
      • Железо
      • Интернет
      • Реклама
      • Закуски и Салаты
      • Прочие проекты
      • Компьютеры, Связь
      • Билайн
      • Мобильная связь
      • Мобильные устройства
      • Покупки в Интернете
      • Программное обеспечение
      • Java
      • Готовим в …
      • Готовим детям
      • Десерты, Сладости, Выпечка
      • Закуски и Салаты
      • Консервирование
    • образование
      • Домашние задания
      • Школы
      • Архитектура, Скульптура
      • бизнес и финансы
      • Макроэкономика
      • Бухгалтерия, Аудит, Налоги
      • ВУЗы, Колледжи
      • Образование за рубежом
      • Гуманитарные науки
      • Естественные науки
      • Литература
      • Публикации и написание статей
      • Психология
      • Философия, непознанное
      • Философия
      • Лингвистика
      • Дополнительное образование
      • Самосовершенствование
      • Музыка
      • наука и техника
      • Технологии
      • Выбор, покупка аппаратуры
      • Техника
      • Прочее образование
      • Наука, Техника, Языки
      • Административное право
      • Уголовное право
      • Гражданское право
      • Финансовое право
      • Жилищное право
      • Конституционное право
      • Право социального обеспечения
      • Трудовое право
      • Прочие юридические вопросы
    • путешествия и туризм
      • Самостоятельный отдых
      • Путешествия
      • Вокруг света
      • ПМЖ, Недвижимость
      • Прочее о городах и странах
      • Дикая природа
      • Карты, Транспорт, GPS
      • Климат, Погода, Часовые пояса
      • Рестораны, Кафе, Бары
      • Отдых за рубежом
      • Охота и Рыбалка
      • Документы
      • Прочее туристическое
    • Работа и карьера
      • Обстановка на работе
      • Написание резюме
      • Кадровые агентства
      • Остальные сферы бизнеса
      • Отдел кадров, HR
      • Подработка, временная работа
      • Производственные предприятия
      • Профессиональный рост
      • Прочие карьерные вопросы
      • Работа, Карьера
      • Смена и поиск места работы
      • Собственный бизнес
      • Трудоустройство за рубежом
    • Семья и дом
      • Во

    woprosi.ru

    Как решать арифметические прогрессии

    Арифметическая прогрессия - это такая последовательность, у которой каждый ее член, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом d (шагом или разностью арифметической прогрессии). Чаще всего в задачах с арифметическими прогрессиями ставятся такие вопросы, как нахождение первого члена арифметической прогрессии, n-го члена, нахождение разности арифметической прогрессии, суммы всех членов арифметической прогрессии. Рассмотрим каждый из этих вопросов более подробно.

    Вам понадобится

    • Умение выполнять основные математические действия.

    Инструкция

    • Из определения арифметической прогрессии следует следующая связь соседних членов арифметической прогрессии - An+1=An+d, например, A5=6, а d=2, то A6=A5+d=6+2=8.
    • Если известен первый член (A1) и разность (d) арифметической прогрессии, то можно найти любой ее член, использую формулу n-го члена арифметической прогрессии (An): An=A1+d(n-1). Например, пусть A1=2, d=5. Найдем, A5 и A10. A5=A1+d(5-1)=2+5(5-1)=2+5*4=2+20=22, а A10=A1+d(10-1)=2+5(10-1)=2+5*9=2+45=47.
    • Используя предыдущую формулу можно найти первый член арифметической прогрессии. A1 тогда будет находиться по формуле A1=An-d(n-1), то есть если предположить, что A6=27, а d=3, A1=27-3(6-1)=27-3*5=27-15=12.
    • Чтобы найти разность (шаг) арифметической прогрессии, необходимо знать первый и n-ый член арифметической прогрессии, зная их, разность арифметической прогрессии находится по формуле d=(An-A1)/(n-1). Например, A7=46, A1=4, тогда d=(46-4)/(7-1)=42/6=7. Если d>0, то прогрессия называется возрастающей, если d<0 - убывающей.
    • Сумму первых n членов арифметической прогрессии можно найти по следующей формуле. Sn=(A1+An)n/2, где Sn - сумма n членов арифметической прогрессии, A1, An - 1-ый и n-ый член арифметической прогрессии соответственно. Воспользуемся данными из предыдущего примера, тогда Sn=(4+46)7/2=50*7/2=350/2=175.
    • Если же n-ый член арифметической прогрессии неизвестен, но зато известен шаг арифметической прогрессии и номер n-го члена, то, чтобы найти сумму арифметической прогрессии, можно воспользоваться формулой Sn=(2A1+(n-1)dn)/2. Например, A1=5, n=15, d=3, тогда Sn=(2*5+(15-1)*3*15)/2=(10+14*45)/2=(10+630)/2=640/2=320.

    completerepair.ru

    Арифметическая прогрессия, формулы и примеры

    Основные формулы арифметической прогрессии

    Число d называется разностью арифметической прогрессии. Любой член арифметической прогрессии можно найти по формуле:

        \[{a}_{n}={a}_{1}+d(n-1)\]

    Сумму первых n членов арифметической прогрессии можно посчитать, используя формулы:

        \[{S}_{n}=\frac{{a}_{1}+{a}_{n}}{2}\cdot n\]

    или

        \[{S}_{n}=\frac{2{a}_{1}+d(n-1)}{2}\cdot n\]

    Количество членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

        \[k=\frac{{a}_{n}-{a}_{1}}{d}+1\]

    Примеры решения задач

    Понравился сайт? Расскажи друзьям!

    ru.solverbook.com

    Арифметическая прогрессия. Задачи на прогрессии.

    Всем привет! Сегодня вспоминаем прогрессии. Задачи на прогрессии встречаются как в блоке текстовых задач ЕГЭ (задачи типа В14), так и среди задач ГИА (В4).

    Сначала вспомним арифметическую прогрессию и порешаем задачи, связанные с ней. Кому нужна геометрическая – смотри тут.

    В любой последовательности каждый элемент должен иметь “адрес”, по которому можно было бы этот элемент отыскать. Этот “адрес” – это порядковый номер элемента. Например, понятно, что элемент a_1 – первый, а a_100 – “живет” в сотой “квартире”.

    Также между номером элемента и его значением есть зависимость. Если последовательность возрастающая, то, чем больше номер “квартиры”, тем “толще” жилец, а если убывающая, то наоборот (все это – непостоянные последовательности). Существуют также последовательности, у которых все члены – одинаковы. Такие последовательности называются постоянными последовательностями (например: 5, 5, 5, …).

    Задать последовательность можно по-разному.

    Часто встречается такой способ задания: “Дана последовательность 30; 28; 26;…” – по сути, это табличный способ задания. Интуитивно понятно, что 30 здесь – первый член последовательности, и можно сразу “увидеть” разность такой прогрессии – это “расстояние между соседями”.

    Также задают последовательности формулой n-ного члена, например: a_n=n+6. Чтобы найти элемент такой последовательности, нужно подставить нужное n в формулу.

    В случае же, когда член последовательности задан с помощью одного или нескольких предыдущих членов, то, чтобы найти этот член последовательности,  необходимо знать и эти предыдущие члены также, то есть нужно как бы  позвонить им в квартиры и спросить адрес их соседа. Такое задание называется рекуррентным от итальянского слова recurro (спешить обратно).Пример: a_{n+1}=a_n+6.

    Арифметической прогрессией называется последовательность чисел, в которой каждое последующее число отличается от предыдущего на одну и ту же величину, которая называется разностью прогрессии и обозначается d

    Разность может быть положительной, отрицательной и нулевой. Так как она постоянна, то между соседями “расстояние” будет d, а “расстояние” между членами, которые стоят “через одного” – 2d. Отсюда свойство прогрессии:

    a_n={a_{n-1}+a_{n+1}}/2

    Понятно, что это свойство относится и к другим членам, отстоящим от “центра” на одинаковое количество номеров:a_n={a_{n-m}+a_{n+m}}/2

    Найти n-ный член прогрессии просто, если знаешь первый и разность прогрессии. Ведь если вы знаете, где первая квартира в доме, вы легко отыщете сотую, верно?

    a_n=a_1+(n-1)d

    Еще нужно знать формулу суммы прогрессии. Когда это может понадобиться? Например, население города увеличивается каждый месяц на 1000 жителей. Сколько новых жителей появится в городе через год или два, сколько строить новых школ или поликлиник?

    Сумму прогрессии можно найти по формулам:

    S_n={{a_1+a_n}/2}n

    S_n={{2a_1+(n-1)d}/2}n

    Ну вот, теперь мы вооружены, можем и задачи порешать попробовать.

    1. Дана арифметическая прогрессия: -30;  -24; -18;… Найти сумму первых десяти членов.

    Первый член a_1=-30. Разность прогрессии можно найти, вычтя из a_2 (последующего члена) a_1 (предыдущий). (Или из a_3 – a_2):

    d=a_2-a_1=-24-(-30)=6.

    Теперь воспользуемся формулой для суммы – берем вторую формулу:

    S_10={{2a_1+(n-1)d}/2}n={{2(-30)+(10-1)6}/2}10=-30

    Ответ: -30

    2. Дана арифметическая прогрессия: 35; 28;21;… Найти сумму членов с 12 по 18 включительно.

    Первый член a_1=35. Разность прогрессии можно найти, вычтя из a_2 (последующего члена) a_1 (предыдущий). (Или из a_3 – a_2):

    d=a_3-a_3=21-28=-7.

    Теперь найдем сумму 18 первых членов, и вычтем из нее сумму 11 первых членов – тогда останется то, что нам и надо::

    S_18={{2a_1+(n-1)d}/2}n={{2(35)+(18-1)(-7)}/2}18=-441

    S_11={{2a_1+(n-1)d}/2}n={{2(35)+(11-1)(-7)}/2}11=0

    Вторая сумма равна 0, поэтому ответ: -441.

    3. Арифметическая прогрессия задана условиями: a_1=5a_n=a_{n+1}+3. Найти  a_12.

    Так как между предыдущим и последующим членами (из условия) – 3, то это и есть разность прогрессии. По формуле для нахождения n-ного члена определяем  a_12:

    a_12=a_1+(n-1)d=5+(12-1)3=38

    Ответ: 38

    4. Последовательности заданы несколькими первыми членами. Какая из них – арифметическая прогрессия?

    а) 1; 2; 3; 5;…              б) 1; 2; 4; 8;…                 в) 1; 3; 5; 7;…             г)1/2; 1/3; 1/4; 1/5;....

    Надо выбрать такую последовательность, где разность между соседними членами была бы одинаковой. Первая не подойдет: четвертый член выбивается из общего ряда. Вторая тоже, очевидно, не подойдет: здесь соседние члены отличаются не “на”, а “в” – каждый следующий вдвое больше. Третья годится: разность равна 2. Четвертая тоже не подойдет: разность между соседними дробями не одинакова.

    Ответ: в)

    5. Выписаны несколько членов арифметической прогрессии: 3; 6; 9; 12;… Какое из следующих чисел есть среди членов этой прогрессии?

    а) 85              б) 73                 в) 117             г) 254.

    Конечно, задан первый член и можно определить разность – она равна 3 – но неужели предстоит просчитать каждое число по формуле n-ного  члена, чтобы определить нужное? НЕТ! Все гораздо проще! Заметим, что все члены прогрессии делятся на 3. И разность прогрессии 3, значит, если число входит в прогрессию, то оно тоже должно делиться на три! Вы помните признак делимости на три? Правильно: если сумма чисел делится на три, то и все число делится. Считаем: 8+5=13 – на три не делится; 7+3=10 – не делится; 1+1+7=9 – число 117 делится на три, и является членом прогрессии. 2+5+4=11 – не подходит.

    Ответ: в)

    6. Арифметические прогрессии x_n, y_n, z_nзаданы формулами n-ного члена:x_n=3n+4, y_n=3n, z_n=4n+2. Укажите те из них, у которых разность равна 3.

    Просто подставив в каждую формулу 1 и 2 вместо n, посмотрим, какая разность получится между членами прогрессий:

    x_1=3+4=7

    x_2=3*2+4=10

    x_2-x_1=3

    Первая прогрессия отвечает требованию.

    Вторая:

    y_1=3

    y_2=3*2=6

    y_3=3*3=9

    y_2-y_1=3

    Вторая также подойдет.

    Третья:

    z_1=4+2=6

    z_2=4*2+2=10

    z_2-z_1=4 – очевидно, что такая разность нам не подходит.

    Ответ: x_n, y_n7. Сумма третьего и пятого членов арифметической прогрессии равна 16, а шестой ее член на 12 больше второго. Найдите разность и первый член данной прогрессии.

    Составим уравнения по условиям:

    a_3+a_5=16

    a_6-12=a_2

    Перепишем второе уравнение:

    a_1+5d-12=a_1+d

    Теперь можем определить разность:

    4d=12

    d=3

    Перепишем первое уравнение:

    a_1+2d+a_1+4d=16

    2a_1+6d=16

    a_1=8-3d

    a_1=8-3*3=-1

    Ответ:  a_1=-1; d=3

    8. Вы­пи­са­но не­сколь­ко по­сле­до­ва­тель­ных чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии: …; 10; x; –14; –26; … Най­ди­те член про­грес­сии, обо­зна­чен­ный бук­вой x.

    По свойству прогрессии неизвестный член равен полусумме своих соседей: x={10+(-14)}/2=-2. Также можно было найти разность прогрессии и прибавить ее к числу “до” х, или отнять от числа “после”.

    9. В пер­вом ряду ки­но­за­ла 50 мест, а в каж­дом сле­ду­ю­щем на 2 боль­ше, чем в преды­ду­щем. Сколь­ко мест в ряду с но­ме­ром n?

    Если число мест в каждом ряду выписать в ряд, получим арифметическую прогрессию. Арифметическую – потому что число мест все время увеличивается на одно и то же число. Понятно, что разность этой прогрессии  2. И вот здесь-то и хочется сказать, что в ряду n число мест a_n=50+2n, но это неверно! Ведь тогда в первом ряду получается 52 места! Поэтому правильно a_n=48+2n.

    10. Дана ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия: 35; 27; 19; … . Най­ди­те пер­вый от­ри­ца­тель­ный член этой про­грес­сии.

    Можно, конечно, найти, на сколько последующий член меньше предыдущего (прогрессия убывающая), то есть разность прогрессии, и затем вычитать последовательно это число до тех пор, пока результат не станет отрицательным.

    11. Дана ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия 13, 8, 3, … Какое число стоит в этой по­сле­до­ва­тель­но­сти на 81-м месте?

    Первый член a_1=13. Разность прогрессии можно найти, вычтя из a_2 (последующего члена) a_1 (предыдущий):

    d=a_3-a_3=3-8=-5.

    Находим 81 член прогрессии:

    a_81=a_1+(n-1)d=13+(81-1)(-5)=-387

    Ответ: -387

    12. Какое наи­боль­шее число по­сле­до­ва­тель­ных на­ту­раль­ных чисел, на­чи­ная с 1, можно сло­жить, чтобы по­лу­чив­ша­я­ся сумма была мень­ше 528?

    “Начиная с 1” – значит, a_1=1. Натуральные числа – ряд последовательных чисел, отличающихся на 1 – значит, d=1.

    Формула суммы прогрессии:  S_n={{2a_1+(n-1)d}/2}n – здесь нам неизвестно число членов прогрессии – n.

    Подставим 528 и попробуем определить n:

    S_n={{2+(n-1)}/2}n={2n+n^2-n}/2=528

    n^2-n=1056

    Получили квадратное уравнение:n^2+n-1056=0

    D=b^2-4ac=1-4(-1056)=4225=65^2

    n_1={-1+65}/2=32

    Второй корень – отрицательный, его можно даже не считать.

    Получается, что сумма 32 членов дает 528, а нам нужно, чтобы сумма была бы меньше – тогда берем 31 член прогрессии.

    Ответ: 31.

    13. Най­ди­те сумму всех от­ри­ца­тель­ных чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии –17; –16; -15; …

    Первый член прогрессии a_1=-17. Разность прогрессии d=1.

    Формула n-ного члена: a_n=a_1+(n-1)d. Найдем, сколько таких отрицательных членов у нас получится:

    a_n<0

    a_1+(n-1)d<0

    -17+n-1<0

    n<18

    Тогда отрицательных членов 17. Находим их сумму:

    S_17={{2a_1+(n-1)d}/2}n={{2(-17)+17-1}/2}17=-153

    Ответ: -153.

    14. Руслану надо решить 420 задач. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Руслан решил 13 задач. Определите, сколько задач Руслан решил в последний день, если со всеми задачами он справился за 12 дней.

    Сначала разберемся, какие сведения содержит в себе условие. Похоже, фраза “на одно и то же количество задач больше” говорит о том, что мы имеем дело с прогрессией. Общий объем работы, предстоящий Руслану – это сумма прогрессии. 13 задач, решенных в первый день – это первый член нашей прогрессии. Ну и 12 дней, отведенных на это сложное дело – это количество членов прогрессии.

    Найти надо количество задач, решенных в последний день – то есть 12 член прогрессии.

    a_n=a_1+(n-1)d – в формуле n-ного члена нам неизвестна разность этой прогрессии. Поэтому воспользуемся суммой:

    S_12={{2a_1+(n-1)d}/2}n={{2(13)+11d}/2}12=420

    (26+11d)6=420

    26+11d=70

    11d=44

    d=4

    Находим 12 член прогрессии:

    a_n=a_1+(n-1)d=13+11*4=57

    Ответ: 57

    15. Улит­ка пол­зет от од­но­го де­ре­ва до дру­го­го. Каж­дый день она про­пол­за­ет на одно и то же рас­сто­я­ние боль­ше, чем в преды­ду­щий день. Из­вест­но, что за пер­вый и по­след­ний дни улит­ка про­полз­ла в общей слож­но­сти 10 мет­ров. Опре­де­ли­те, сколь­ко дней улит­ка по­тра­ти­ла на весь путь, если рас­сто­я­ние между де­ре­вья­ми равно 150 мет­рам.

    Сумма прогрессии равна 150. Сумма первого и последнего членов – 10. Зная это, можем найти, какое количество дней улитка затратила на свой путь (количество членов прогрессии):

    S_n={{a_1+a_n}/2}n=150

    S_n={10n}/2=150

    Откуда n=30

    Ответ: 30

    easy-physic.ru