Как найти площадь поверхности пирамиды. Площадь поверхности тетраэдра формула


Правильный тетраэдр (пирамида)

Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел стереометрия, задачи о пирамиде). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа "квадратный корень" применяется функция sqrt(), в которой sqrt - символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение. Для простых подкоренных выражений может использоваться знак "√".

Теория

(теоретические сведения см. также в уроке "Правильный тетраэдр")

Правильный тетраэдр - это правильная треугольная пирамида у которой все грани являются равносторонними треугольниками.

У правильного тетраэдра все двугранные углы при рёбрах и все трёхгранные углы при вершинах равны

У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 ребер.

Основные формулы для правильного тетраэдра приведены в таблице. Где: S - Площадь поверхности правильного тетраэдра V - объем h - высота, опущенная на основание r - радиус вписанной в тетраэдр окружности R - радиус описанной окружности a - длина ребра

Практические примеры

Задача. Найдите площадь поверхности треугольной пирамиды, у которой каждое ребро равно √3

Решение. Поскольку все ребра треугольной пирамиды равны - она является правильной. Площадь поверхности правильной треугольной пирамиды равна S = a2√3 . Тогда S = 3√3

Ответ: 3√3

Задача. Все ребра правильной треугольной пирамиды равны 4 см. Найдите объем пирамиды

Решение. Поскольку в правильной треугольной пирамиде высота пирамиды проецируется в центр основания, который одновременно является центром описанной окружности, то

AO = R = √3 / 3 a AO = 4√3 / 3

Таким образом, высота пирамиды OM может быть найдена из прямоугольного треугольника AOM

AO2 + OM2 = AM2 OM2 = AM2 - AO2 OM2 =  42 - ( 4√3 / 3 )2 OM2 = 16 - 16/3 OM = √(32/3) OM = 4√2 / √3

Объем пирамиды найдем по формуле V = 1/3 Sh При этом площадь основания найдем по формуле S = √3/4 a2

V = 1/3 (√3 / 4 * 16 ) ( 4√2 / √3 ) V = 16√2 / 3

Ответ: 16√2 / 3 см

 Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды | Описание курса | Пирамида и вписанный конус 

   

profmeter.com.ua

Объем тетраэдра - формулы, примеры расчета, калькулятор

Рассмотрим произвольный треугольник ABC и точку D, не лежащую в плоскости этого треугольника. Соединим отрезками эту точку с вершинами треугольника ABC. В результате получим треугольники ADC, CDB, ABD. Поверхность ограниченная четырьмя треугольниками  ABC, ADC, CDB и ABD называется тетраэдром и обозначается DABC.тетраэдрТреугольники, из которых состоит тетраэдр, называются его гранями.Стороны данных треугольников называют ребрами тетраэдра. А их вершины – вершинами тетраэдра

Тетраэдр имеет 4 грани, 6 ребер и 4 вершины.Два ребра, которые не имеют общей вершины, называются противоположными.Зачастую для удобства, одну из граней тетраэдра называют основанием, а оставшиеся три грани боковыми гранями.

Таким образом, тетраэдр – это простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника.

тетраэдрНо также верно и утверждение, что любая произвольная треугольная пирамида является тетраэдром. Тогда также верно, что тетраэдром называют пирамиду, в основании которой лежит треугольник.

Высотой тетраэдра называется отрезок, который соединяет вершину с точкой, расположенной на противоположной грани и перпендикулярный к ней.Медианой тетраэдра называется отрезок, который соединяет вершину с точкой пересечения медиан противоположной грани.Бимедианой тетраэдра называется отрезок, который соединяет середины скрещивающихся ребер тетраэдра.

Так как тетраэдр – это пирамида с треугольным основанием, то объем  любого тетраэдра можно рассчитать по формуле

V=1/3 SH,

где

  • S – площадь любой грани,
  • H – высота, опущенная на эту грань

Правильный тетраэдр — частный вид тетраэдра

Тетраэдр, у которого все грани равносторонние треугольник называется правильным.Свойства правильного тетраэдра:

  • Все грани равны.
  • Все плоские углы правильного тетраэдра равны 60°
  • Так как каждая его вершина является вершиной трех правильных треугольников, то сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°
  • Любая вершина правильного тетраэдра проектируется в ортоцентр противоположной грани (в точку пересечения высот треугольника).

тетраэдр

Пусть нам дан правильный тетраэдр ABCD с ребрами равными a. DH – его высота.Произведем дополнительные построения BM – высоту треугольника ABC и DM – высоту треугольника ACD.Высота BM равна BM и равна a sqrt{3}/2Рассмотрим треугольник BDM, где DH, являющаяся  высотой тетраэдра также и высота данного треугольника.Высоту треугольника, опущенную на сторону MB можно найти, воспользовавшись формулой

h_BM=2sqrt{p(p-BM)(p-DM)(p-BD)}/BM, где BM=a sqrt{3}/2, DM=a sqrt{3}/2, BD=a,p=1/2 (BM+BD+DM)= 1/2(a sqrt{3}/2+a sqrt{3}/2+a)=1/2a( sqrt{3}+1)Подставим эти значения в формулу высоты. Получим h_BM=2sqrt{1/2a( sqrt{3}+1)(1/2a( sqrt{3}+1)-a sqrt{3}/2 )(1/2a( sqrt{3}+1)-a sqrt{3}/2 )(1/2a( sqrt{3}+1)-a)}/(a sqrt{3}/2) Вынесем 1/2a. Получим

2sqrt{1/2a( sqrt{3}+1)1/2a( sqrt{3}+1-sqrt{3})1/2a(sqrt{3}+1-sqrt{3})1/2a( sqrt{3}-1))/(a sqrt{3}/2) 2sqrt{(1/2a)^{4}( sqrt{3}+1)*1*1*( sqrt{3}-1)}/(a sqrt{3}/2) Применим формулу разность квадратов2sqrt{(1/2a)^{4}*2}/(a sqrt{3}/2) После небольших преобразований получим(2a^{2}sqrt{2}*2)/(4a sqrt{3}) = sqrt{2/3}aDH = sqrt{2/3}aОбъем  любого тетраэдра можно рассчитать по формулеV=1/3 SH,где S=1/2aa sqrt{3}/2=  sqrt{3}/4a^{2},H=a sqrt{3}/2Подставив эти значения, получимV=1/3 sqrt{3}/4a^{2}a sqrt{3}/2 =sqrt{3}/12 a^{3}

Таким образом формула объема для правильного тетраэдра

V=sqrt{3}/12 a^{3}

где a –ребро тетраэдра

Вычисление объема тетраэдра, если известны координаты его вершин

Пусть нам даны координаты вершин тетраэдраA_1(x_1,y_1,z_1),A_2(x_2,y_2,z_2),A_3(x_3,y_3,z_3)Из вершины A_1  проведем векторы overline{A_1A_2}, overline{A_1A_3}, overline{A_1A_4}. Для нахождения координат каждого  из этих векторов вычтем из координаты конца соответствующую координату начала. Получим overline{A_1A_2}(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)overline{A_1A_3}(x_3-x_1,y_3-y_1,z_3-z_1)overline{A_1A_4}(x_4-x_1,y_4-y_1,z_4-z_1)

 Геометрических смысл смешенного произведения трех векторов заключается в следующем – смешенное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.Так как тетраэдр есть пирамида с треугольным основанием, а объем пирамиды в шесть раз меньше объема параллелепипеда, то тогда имеет смысл следующая формула

V= delim{|}{overline{A_1A_2},overline{A_1A_3},overline{A_1A_4}}{|}

delim{|}{overline{A_1A_2},overline{A_1A_3},overline{A_1A_4}}{|}=delim{|}{matrix{3}{3}{x_2-x_1 y_2-y_1 z_2-z_1 x_3-x_1 y_3-y_1 z_3-z_1 x_4-x_1 y_4-y_1 z_4-z_1}}{|}

2mb.ru

Как найти площадь тетраэдра | Сделай все сам

Тетраэдром в стереометрии именуется многогранник, тот, что состоит из четырёх треугольных граней. Тетраэдр имеет 6 рёбер и по 4 грани и вершины. Если у тетраэдра все грани являются положительными треугольниками, то и сам тетраэдр именуется положительным. Площадь полной поверхности всякого многогранника, в том числе и тетраэдра дозволено рассчитать, зная площади его граней.

Инструкция

1. Дабы обнаружить площадь полной поверхности тетраэдра, нужно вычислить площадь треугольника составляющего его грань.Если треугольник равносторонний, то его площадь равнаS = ?3 * 4 / a?, где a – ребро тетраэдра,тогда площадь поверхности тетраэдра находится по формулеS = ?3 * a?.

Как обнаружить площадь тетраэдра

2. В случае, если тетраэдр является прямоугольным, т.е. все плоские углы при одной из его вершин являются прямыми, то площади трёх его граней являющихся прямоугольными треугольниками дозволено рассчитать по формулеS = a * b *1/2,S = a * c *1/2,S = b * c *1/2,площадь третьей грани дозволено рассчитать по одной из всеобщих формул для треугольников, скажем по формуле ГеронаS = ?(p * (p — d) * (p — e) * (p — f)), где p = (d + e + f)/2 – полупериметр треугольника.

Как обнаружить площадь тетраэдра

3. В всеобщем случае, площадь всякого тетраэдра дозволено рассчитать, применяя формулу Герона для вычисления площадей всей его грани.

Тетраэдр является одним из пяти существующих положительных многогранников, т.е. многогранников гранями которых являются положительные многоугольники. Тетраэдр состоит из четырёх граней являющимися равносторонними треугольниками, шести рёбер и четырёх вершин.

Инструкция

1. Рассчитать объём положительно тетраэдра дозволено как по всеобщим формулам для тетраэдров, так и по формуле для верного тетраэдра.Объём положительного тетраэдра находится по формулеV = ?2/12 * a?, где a – длина ребра тетраэдра.

Как обнаружить объем верного тетраэдра

2. Объём тетраэдра так же дозволено вычислить по дальнейшим формулам.V = 1/3 * S * h, где S – площадь грани тетраэдра, h – высота опущенная на эту грань.V = sin?? * 2/3 * (S? * S?)/AB, где S? и S? – площади граней ? и ?, sin?? – угол между гранями ? и ?

Как обнаружить объем верного тетраэдра

3. Если тетраэдр задан координатами своих вершин в декартовой системе координат — r1(x1, y1, z1), r2(x2, y2, z2), r3(x3, y3, z3), r4(x4, y4, z4), то её объём дозволено рассчитать по формуле, приведённой на рисунке.

Как обнаружить объем положительного тетраэдра

Видео по теме

jprosto.ru

Площадь поверхности пирамиды | Мозган калькулятор онлайн

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь поверхности пирамиды онлайн. Для расчета задайте площадь основания и апофему.

Пирамида – многогранник, основание которого – многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину. Пирамида является частным случаем конуса. Пирамида называется правильной, если её основанием является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.

Апофема – опущенный перпендикуляр из вершины на ребро основания.

Боковая поверхность через периметр и апофему
Площадь боковой поверхности пирамиды

Формула площади боковой поверхности правильной пирамиды через периметр и апофему:

p - периметр основания пирамиды; l - апофема пирамиды.
Боковая поверхность через высоту и сторону основания
Площадь боковой поверхности пирамиды

Формула площади боковой поверхности правильной пирамиды через высоту и сторону основания:

a - сторона основания; h - высота пирамиды; n - число сторон в основании.
Полная поверхность через высоту и сторону основания
Площадь полной поверхности пирамиды

Формула площади полной поверхности правильной пирамиды через высоту и сторону основания:

a - сторона основания; h - высота пирамиды; n - число сторон в основании.
Полная площадь тетраэдра
Полная площадь тетраэдра

Формула полной площадь тетраэдра:

a - сторона основания.

mozgan.ru

dets:geometry [VF]

Указатель — Разделы — Обозначения — Автор — О проекте

Вспомогательная страница к разделу ☞ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ

Уравнение прямой, проходящей через точки плоскости с координатами (x_{1},y_1) и (x_{2},y_2):

\left| \begin{array}{lll} x & y & 1 \\ x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \end{array} \right|=0 \qquad \iff \qquad \left| \begin{array}{ll} x-x_1 & y-y_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 \end{array} \right|=0 .

Уравнение окружности, проходящей через точки плоскости с координатами (x_{1},y_1) , (x_2,y_2) и (x_{3},y_3) (окружности, описанной вокруг треугольника):

\left| \begin{array}{llll} x^2+y^2 & x & y & 1 \\ x_1^2+y_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \\ x_2^2+y_2^2 & x_2 & y_2& 1 \\ x_3^2+y_3^2 & x_3 & y_3& 1 \end{array} \right|=0 .

При условии, что все три точки коллинеарны (лежат на одной прямой; см. ☞ ЗДЕСЬ ):

\left| \begin{array}{lll} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{array} \right|=0

окружность вырождается в прямую

\left| \begin{array}{clll} 0 & x & y & 1 \\ x_1^2+y_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \\ x_2^2+y_2^2 & x_2 & y_2& 1 \\ x_3^2+y_3^2 & x_3 & y_3& 1 \end{array} \right|=0 .

Координаты центра окружности, проходящей через точки (x_{1},y_1) , (x_2,y_2) и (x_{3},y_3):

x_C=\frac{\left| \begin{array}{lll} x_1^2+y_1^2 & y_1 & 1 \\ x_2^2+y_2^2 & y_2& 1 \\ x_3^2+y_3^2 & y_3& 1 \end{array} \right|} {2\left| \begin{array}{lll} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{array} \right|},\quad y_C=-\frac{\left| \begin{array}{lll} x_1^2+y_1^2 & x_1 & 1 \\ x_2^2+y_2^2 & x_2& 1 \\ x_3^2+y_3^2 & x_3& 1 \end{array} \right|} {2\left| \begin{array}{lll} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{array} \right|} \ .

Т

Теорема [Птолемей]. Точки P_1=(x_{1},y_1) , P_2=(x_2,y_2), P_3 =(x_{3},y_3) и P_4=(x_{4},y_4) лежат на одной окружности или на одной прямой тогда и только тогда, когда выполнено равенство

\left| \begin{array}{cccc} 0 & |P_1P_2|^2 & |P_1P_3|^2 & |P_1P_4|^2 \\ |P_1P_2|^2 & 0 & |P_2P_3|^2 & |P_2P_4|^2 \\ |P_1P_3|^2 & |P_2P_3|^2 & 0 & |P_3P_4|^2 \\ |P_1P_4|^2 & |P_2P_4|^2 & |P_3P_4|^2 & 0 \end{array} \right|=0 .

Здесь |P_jP_k|^2=(x_j-x_k)^2+(y_j-y_k)^2.

Доказательство, альтернативная геометрическая формулировка, а также пространственный аналог теоремы ☞ ЗДЕСЬ.

Уравнение плоскости, проходящей через точки пространства с координатами (x_{1},y_1,z_1), (x_{2},y_2,z_2) и (x_{3},y_3,z_3):

\left| \begin{array}{llll} x & y & z & 1 \\ x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & z_3 & 1 \end{array} \right|=0 .

Уравнение сферы, проходящей через точки (x_{1},y_1,z_1), (x_{2},y_2,z_2), (x_{3},y_3,z_3) и (x_{4},y_4,z_4):

\left| \begin{array}{cllll} x^2+y^2+z^2 & x & y & z & 1 \\ x_1^2+y_1^2+z_1^2 & x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2^2+y_2^2+z_2^2 & x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3^2+y_3^2+z_3^2 & x_3 & y_3 & z_3 & 1 \\ x_4^2+y_4^2+z_4^2 & x_4 & y_4 & z_4 & 1 \end{array} \right|=0 .

При условии, что все четыре точки компланарны (лежат в одной плоскости; см. ☞ ЗДЕСЬ ):

\left| \begin{array}{llll} x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & z_3 & 1 \\ x_4 & y_4 & z_4 & 1 \end{array} \right|=0

сфера вырождается в плоскость. Координаты центра сферы:

x_C=\frac{\left| \begin{array}{clll} x_1^2+y_1^2+z_1^2 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2^2+y_2^2+z_2^2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3^2+y_3^2+z_3^2 & y_3 & z_3 & 1 \\ x_4^2+y_4^2+z_4^2 & y_4 & z_4 & 1 \end{array} \right|}{2\,\left| \begin{array}{llll} x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & z_3 & 1 \\ x_4 & y_4 & z_4 & 1 \end{array} \right|},\ y_C=-\frac{\left| \begin{array}{clll} x_1^2+y_1^2+z_1^2 & x_1 & z_1 & 1 \\ x_2^2+y_2^2+z_2^2 & x_2 & z_2 & 1 \\ x_3^2+y_3^2+z_3^2 & x_3 & z_3 & 1 \\ x_4^2+y_4^2+z_4^2 & x_4 & z_4 & 1 \end{array} \right|}{2\,\left| \begin{array}{llll} x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & z_3 & 1 \\ x_4 & y_4 & z_4 & 1 \end{array} \right|},\ z_C=\frac{\left| \begin{array}{clll} x_1^2+y_1^2+z_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \\ x_2^2+y_2^2+z_2^2 & x_2 & y_2 & 1 \\ x_3^2+y_3^2+z_3^2 & x_3 & y_3 & 1 \\ x_4^2+y_4^2+z_4^2 & x_4 & y_4 & 1 \end{array} \right|}{2\,\left| \begin{array}{llll} x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & z_3 & 1 \\ x_4 & y_4 & z_4 & 1 \end{array} \right|}

§

Сформулированные выше геометрические задачи являются частными случаями общей задачи об ☞ ИНТЕРПОЛЯЦИИ.

тетраэдра

параллелепипеда

эллипсоида

[1]. Uspensky J.V. Theory of Equations. New York. McGraw-Hill. 1948

pmpu.ru

Объём тетраэдра

Из основной формулы для объёма тетраэдра

(1),

 

где S – площадь любой грани, а H – опущенная на нее высота, можно вывести еще целый ряд формул, выражающих объём через различные элементы тетраэдра. Приведем эти формулы для тетраэдра ABCD. 

(2) ,

где ∠(AD,ABC) – угол между ребром AD и плоскостью грани ABC;

(3) ,

где ∠(ABC,ABD) – угол между гранями ABC и ABD;

(4) ,

где |AB,CD| – расстояние между противоположными ребрами AB и CD, ∠(AB,CD) – угол между этими ребрами.

 

Формулы (2)–(4) можно использовать для нахождения величин углов между прямыми и плоскостями; особенно полезна формула (4), с помощью которой можно находить расстояние между скрещивающимися прямыми AB иCD.

Формулы (2) и (3) аналогичны формуле S = (1/2)absin C для площади треугольника. Формуле S = rp аналогична формула

(5) ,

где r – радиус вписанной сферы тетраэдра, Σ – его полная поверхность (сумма площадей всех граней). Имеется и красивая формула, связывающая объём тетраэдра с радиусом R его описанной сферы (формула Крелле):

(6) ,

где Δ – площадь треугольника, стороны которого численно равны произведениям противоположных ребер (AB×CD, AC×BD,AD×BC). Из формулы (2) и теоремы косинусов для трехгранных углов (см. Сферическая тригонометрия) можно вывести формулу, аналогичную формуле Герона для треугольников:

(7) ,

где α, β, γ – плоские углы BDC, CDA, ADB при вершине D, δ = (α+β+γ)/2 – их полусумма.

Наконец, приведем векторную формулу:

(8) ,

где внутри модуля стоит смешанное произведение векторов. С помощью этой формулы можно вычислять объём тетраэдра, зная координаты его вершин.

 

school-collection.edu.ru