Как найти радиус окружности: в помощь школьникам. Найти радиус окружности из длины окружности


Как найти радиус окружности: в помощь школьникам

Как найти радиус окружности? Этот вопрос всегда актуален для школьников, изучающих планиметрию. Ниже мы рассмотрим несколько примеров того, как можно справиться с поставленной задачей.

В зависимости от условия задачи радиус окружности вы можете найти так.

Формула 1: R = Л / 2π, где Л – это длина окружности, а π – константа, равная 3,141…

Формула 2: R = √( S / π), где S – это величина площади круга.

Формула 3: R = Д/2, где Д – это диаметр окружности, то есть длина того отрезка, который, проходя через центр фигуры, соединяет две максимально удаленные друг от друга точки.

Как найти радиус описанной окружности

Сначала давайте определимся с самим термином. Окружность называется описанной тогда, когда она касается всех вершин заданного многоугольника. При этом следует заметить, что описать окружность можно только вокруг такого многоугольника, стороны и углы которого между собой равны, то есть вокруг равностороннего треугольника, квадрата, правильного ромба и т.п. Для решения поставленной задачи необходимо найти периметр многоугольника, а также вымерить его стороны и площадь. Поэтому вооружитесь линейкой, циркулем, калькулятором и тетрадкой с ручкой.

Как найти радиус окружности, если она описана вокруг треугольника

Формула 1: R = (А*Б*В) / 4S, где А, Б, В – длины сторон треугольника, а S – его площадь.

Формула 2: R = А / sin а, где А – длина одной из сторон фигуры, а sin а – высчитанное значение синуса противолежащего этой стороне угла.

Радиус окружности, которая описана вокруг прямоугольного треугольника.

Формула 1: R = В/2, где В – гипотенуза.

Формула 2: R = М*В, где В – гипотенуза, а М – медиана, проведенная к ней.

Как найти радиус окружности, если она описана вокруг правильного многоугольника

Формула: R = А / (2 * sin (360/(2*n))), где А – длина одной из сторон фигуры, а n – количество сторон в данной геометрической фигуре.

Как найти радиус вписанной окружности

Вписанной окружность называется тогда, когда она касается всех сторон многоугольника. Рассмотрим несколько примеров.

Формула 1: R = S / (Р/2), где – S и Р – площадь и периметр фигуры соответственно.

Формула 2: R = (Р/2 - А) * tg (а/2), где Р – периметр, А – длина одной из сторон, а – противолежащий этой стороне угол.

Как найти радиус окружности, если она вписана в прямоугольный треугольник

Формула 1:

Радиус окружности, которая вписана в ромб

Окружность можно вписать в любой ромб, как равносторонний, так и неравносторонний.

Формула 1: R = 2 * Н, где Н – это высота геометрической фигуры.

Формула 2: R = S / (А*2), где S – это площадь ромба, а А – длина его стороны.

Формула 3: R = √((S * sin А)/4), где S – это площадь ромба, а sin А – синус острого угла данной геометрической фигуры.

Формула 4: R = В*Г/(√(В² + Г²), где В и Г – это длины диагоналей геометрической фигуры.

Формула 5: R = В*sin (А/2), где В – диагональ ромба, а А – это угол в вершинах, соединяющих диагональ.

Радиус окружности, которая вписана в треугольник

В том случае, если в условии задачи вам даны длины всех сторон фигуры, то сначала высчитайте периметр треугольника (П), а затем полупериметр (п):

П = А+Б+В, где А, Б, В – длин сторон геометрической фигуры.

п = П/2.

Формула 1: R = √((п-А)*(п-Б)*(п-В)/п).

А если, зная все те же три стороны, вам дана еще и площадь фигуры, то можете рассчитать искомый радиус следующим образом.

Формула 2: R = S * 2(А + Б + В)

Формула 3: R = S/п = S / ( А+Б+В)/2), где – п – это полупериметр геометрической фигуры.

Формула 4: R = (п - А) * tg (А/2), где п – это полупериметр треугольника, А – одна из его сторон, а tg (А/2) – тангенс половины противолежащего этой стороне угла.

А ниже приведенная формула поможет отыскать радиус той окружности, которая вписана в равносторонний треугольник.

Формула 5: R =А * √3/6.

Радиус окружности, которая вписана в прямоугольный треугольник

Если в задаче даны длины катетов, а также гипотенуза, то радиус вписанной окружности узнается так.

Формула 1: R = (А+Б-С)/2, где А, Б – катеты, С – гипотенуза.

В том случае, если вам даны только два катета, самое время вспомнить теорему Пифагора, чтобы гипотенузу найти и воспользоваться вышеприведенной формулой.

С = √(А²+Б²).

Радиус окружности, которая вписана в квадрат

Окружность, которая вписана в квадрат, делит все его 4 стороны ровно пополам в точках касания.

Формула 1: R = А/2, где А – длина стороны квадрата.

Формула 2: R = S / (Р/2), где S и Р – площадь и периметр квадрата соответственно.

fb.ru

Как найти радиус круга

2 методика:Вычисление радиуса по основным величинамВычисление радиуса по трем точкам на окружности

Радиус круга - отрезок, соединяющий центр круга с любой точкой на его окружности. Значение радиуса используется для вычисления длины окружности, площади круга, диаметра окружности, а также при нахождении объема трехмерных фигур, например, объема цилиндра. Радиус круга равен d/2, где d – диаметр круга; C/2π, где C – длина окружности; √(A/π), где A – площадь круга.

Шаги

Метод 1 из 2: Вычисление радиуса по основным величинам

Определение основных величин
  1. 1 Радиус можно найти по известным значениям основных величин круга/окружности. К таким величинам относятся:
    • Длина окружности (C).
    • Диаметр (D) (отрезок, соединяющей две точки на окружности и проходящий через центр круга).
    • Радиус (R) (отрезок, соединяющий центр круга с любой точкой на окружности).
    • Площадь (A) (пространство, ограниченное окружностью).
    • Число Пи (π) (математическая постоянная, представляющая отношение длины окружности к ее диаметру; это число применяется при вычислении всех основных величин круга и обычно округляется до 3,14).
  2. 2 Ниже приведены формулы для вычисления диаметра, длины окружности и площади круга; каждая из них включает радиус. Запомните: обособив радиус на одной стороне формулы, вы сможете найти его по известным значениям основных величин круга/окружности.
    • D = 2r. Диаметр вдвое больше радиуса.
    • С = πD = 2πr. Длина окружности равна произведению π на ее диаметр. Так как диаметр в два раза больше радиуса, то длина окружности равна произведению π на двойку и на радиус этой окружности.
    • A = πr^2. Площадь круга равна произведению квадрата его радиуса на π.
Вычисление радиуса по формулам
  1. 1 Если вам дан диаметр, разделите его пополам (на 2) и получите радиус. Так как D = 2r, то r =D/2.
    • Например, если диаметр круга равен 10 м, то радиус круга равен 10/2 = 5 м.
  2. 2 Если вам дана длина окружности, разделите ее на 2π и получите радиус. Так как C = 2πr, то r = C/2π.
    • Например, если длина окружности равна 10 см, то сначала разделите это значение на π: 10/π = 3,14 см. Теперь разделите полученное значение на 2, чтобы вычислить радиус: 3,14/2 = 1,59 см.
  3. 3 Если вам дана площадь круга, разделите ее на π и из полученного значения извлеките квадратный корень, чтобы найти радиус. Так как А = πr2, то r = √(A/π).
    • Например, площадь круга равна 10 м2. Сначала разделите это значение на π: 10/π = 3,14. Теперь из полученного значения извлеките квадратный корень, чтобы найти радиус: √3,14 = 1,78 м.

Метод 2 из 2: Вычисление радиуса по трем точкам на окружности

  1. 1 Если вам не даны значения диаметра, длины окружности или площади круга, вы можете вычислить радиус круга по координатам трех точек на окружности (назовем их P1, P2 и P3). Это делается при помощи одной из двух формул, приведенных ниже.
    • Формулы для нахождения радиуса круга по трем точкам, лежащем на окружности:
      • (abc)/(√(a + b + c)(b + c - a)(c + a - b)(a + b - c)), где a, b, c – стороны треугольника с вершинами в точках P1, P2, P3.[1]
      • a/(2sin(θ)), где a –сторона треугольника с вершинами в точках P1, P2, P3; θ – противолежащий угол.
    • Во второй формуле вам нужно знать только координаты двух точек и угол; если угол не дан, вам понадобятся координаты всех трех точек.
  2. 2 Найдите расстояние между каждыми двумя точками, чтобы определить значения сторон треугольника. Для этого подставьте известные вам координаты в формулу: Расстояние = √((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2), где x1,y1 - координаты первой точки; x2,y2 - координаты второй точки.
    • Пример. На окружности круга лежат точки с координатами (3,0), (3,8) и (-1, 4). Найдите расстояние между точками (3,8) и (-1,4) по следующей формуле (то есть вы находите сторону треугольника):
      • √((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2)
      • √((-1 - 3)2 + (4 - 8)2)
      • √((-4)2 + (-4)2)
      • √(16 + 16) = √(32) = 5,66
  3. 3 Найдите расстояние между двумя другими парами точек (то есть найдите две другие стороны треугольника) при помощи процесса, описанного в предыдущем шаге. Подставьте известные вам координаты в ту же формулу: Расстояние = √((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2).
    • В нашем примере вам необходимо найти расстояние между точками (3,0) и (3,8) и между точками (3,0) и (-1, 4). В первой паре меняется только координата «у», поэтому расстояние равно 8. Расстояние между второй парой точек вычислите следующим образом:
      • √((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2)
      • √((-1 - 3)2 + (4 - 0)2)
      • √((-4)2 + (4)2)
      • √(16 + 16) = √(32) = 5,66. Таким образом, стороны треугольника равны 5,66; 8; 5,66.
  4. 4 Воспользуйтесь формулой (abc)/(√(a + b + c)(b + c - a)(c + a - b)(a + b - c)) для вычисления радиуса круга (a, b, c – стороны треугольника). Для этого подставьте в эту формулу найденные вами стороны треугольника.
    • В нашем примере а = 5,66; b = 8; с = 5,66.
      • (abc)/(√(a + b + c)(b + c - a)(c + a - b)(a + b - c))
      • ((5,66)(8)(5,66))/(√(5,66 + 8 + 5,66)(8 + 5,66 – 5,66)(5,66 + 5,66 - 8)(5,66 + 8 – 5,66))
      • (256,28)/(√(19,32)(8)(3,32)(8))
      • (256,28)/(√(4105,11))
      • (256,28)/(64,07) = 4. Радиус нашего круга равен 4. Этот ответ верный, потому что сторона треугольника, равная 8, проходит через центр круга, то есть это его диаметр. Так как радиус равен половине диаметра, то 8/2 = 4.
  5. 5 Теперь найдем угол, противолежащий найденной стороне треугольника, по формуле (теорема косинусов): c2 = a2 + b2 - 2abCos(θ), где a, b, c – стороны треугольника, θ - угол между сторонами а и b, противолежащий стороне с. Найдя противолежащий угол, вы можете вычислить радиус по формуле: a/(2sin(θ))).
    • В нашем примере а = 5,66; b = 8; с = 5,66. Найдем угол, противолежащий первой стороне.
      • c2 = a2 + b2 - 2abCos(θ)
      • 5,662 = 5,662 + 82 - 2(5,66)(8)Cos(θ)
      • 32,04 = 32,04 + 64 – 90,56Cos(θ)
      • -64 = - 90,56Cos(θ)
      • 0.707 = Cos(θ)
      • θ = 45o (для нахождения угла необходимо вычислить arcos).
  6. 6 Подставьте известные вам значения стороны треугольника и противолежащего угла в формулу а/(2sin(θ)), чтобы найти радиус круга. Эта формула выведена из теоремы синусов, которая гласит, что отношение стороны треугольника к ее противолежащему углу равно удвоенному радиусу (или диаметру) окружности, описанной вокруг треугольника, то есть а/sin(θ) = 2r.[2]
    • В нашем примере сторона равна 5,66, а противолежащий угол равен 45o. Подставьте эти значения в формулу.
      • a/(2sin(θ))
      • 5,66/(2sin(45o))
      • 5,66/ 2(0,707)
      • 5,66/1,414 = 4. Обратите внимание, что вы получили такое же значение радиуса, как и при использовании формулы ((abc)/(√(a + b + c)(b + c - a)(c + a - b)(a + b - c))).

Советы

  • Пользуйтесь калькулятором для проверки ответа.
  • Для получения более точных результатов на калькуляторе используйте клавишу π.

ves-mir.3dn.ru

Как найти радиус круга - PontCost

Радиус круга – это расстояние от центра круга до любой точки, которая лежит на внешней окружности круга. Простейший способ найти радиус – разделить диаметр пополам.

Находить неизвестный радиус можно с помощью ее геометрических параметров: длины, площади и т. д., а также с помощью известных трёх точек, которые не располагаются на единственной прямой, задают окружность и имеют свои координаты.

Как известно, радиус – это любое расстояние от центральной точки до точек, располагающихся непосредственно на окружности, через центр фигуры прокладывается также диаметр. Отталкиваясь от двух определений, найти радиус окружности достаточно просто следующим методом.

Итак, чтобы найти радиус окружности с помощью известного диаметра, необходимо применить следующую формулу: r = D\2. В данном выражении r обозначает неизвестный радиус (например, в сантиметрах), а D – диаметр. В случае, когда диаметр окружности составляет число 64, радиус будет равняться 32.

Найти радиус окружности достаточно легко зная длину окружности – то есть, длину всех составляющих ее точек, расположенных на равном расстоянии от центра фигуры. Для нахождения искомой величины, необходимо применить следующую формулу: C = 2πr.

В данной формуле за С берётся длина окружности, π – это постоянная «пи», которая в школьных задачах приравнивается значению в 3.14, а r – искомый радиус. Так, выразив из этой формулы r, найти радиус можно следующим образом: r = C\2π.

Очевидно, что при большей длине окружности, при значительном удалении точек, радиус окружности больше.

Если в задаче известна лишь площадь окружности – то есть, всё пространство, покрываемое окружностью, то найти радиус окружности можно с помощью следующей формулы: A = πr2.

В данной формуле за А берётся площадь окружности, π – это постоянная «пи», со значением 3.14, а r – искомый радиус. Выражая из приведённой формулы искомую величину, получаем, что найти радиус можно так: r = √(А\π).

Так, используя эту формулу, при известной площади в 21 см2 радиус окружности будет составлять 8.12 см.

Существует доказанная теорема, что через данные три точки, которые не располагаются по условиям на одной прямой, возможно провести лишь одну окружность, поэтому можно найти радиус окружности, заданной тремя точками. Все три точки должны иметь свои координаты.

Центр дополнительной окружности, которую можно построить для большей наглядности вычисляется с помощью упомянутых трёх точек следующим образом. Так, центр такой фигуры находится внутри треугольника, его стороны вычисляются при помощи формулы: расстояние между двумя точками; она указана на изображении.

После того, как все стороны треугольника найдены, необходимо найти радиус описанной окружности, который вычисляется r = (abc)/√((a + b + c)+ (b + c — a)+ (c + a — b)+ (a + b — c)), где а, b, с – это стороны треугольника, а r – искомый радиус круга.

Таким образом, нахождение радиуса сводится к правильному исчислению всех математических операций.

Советы

Чтобы найти радиус окружности, желательно:

  • определить, какой из представленных в тексте методов наиболее подходит к ситуации, описываемой в задаче;
  • при использовании последнего метода выполнять действие лучше всего последовательно и не торопясь, потому что риск ошибиться здесь наиболее велик;
  • рисовать наглядные рисунки, соответствующие условиям задачи, т. к. иногда это поможет сыграть хорошую службу при решении задачи (не только на нахождении неизвестных окружности).

pontcost.com

Как найти радиус окружности

Как найти радиус окружностиЧтобы найти радиус окружности достаточно знать длину этой окружности и воспользоваться формулой:

    \[radius=\frac{dlina.okrujnosti}{2 \pi}.\]

Например, если длина окружности равна 14 см, то ее радиус будет равен:radius=\frac{dlina.okrujnosti}{2 \pi}=\frac{14}{2 \pi}=\frac{7}{3,14}\approx 2,23 (см).Радиус окружности можно найти, если известна ее площадь с помощью формулы:

    \[radius=\sqrt{\frac{ploschad'.okrujnosti}{\pi}}.\]

Формулу запоминать не обязательно, так как ее можно легко вывести из формулы площади окружности:

    \[ploschad'.okrujnosti= \pi\cdot {radius}^2.\]

Например, если площадь окружности равна 128 кв. см, то ее радиус будет равен:radius=\sqrt{\frac{128}{\pi}}=\sqrt{\frac{128}{3,14}}\approx 6,38 (см).Проще всего найти радиус окружности, если известен ее диаметр. Для этого достаточно диаметр разделить на 2:

    \[radius=\frac{diametr}{2}.\]

Кроме радиуса и диаметра в окружность может быть вписан угол, построен центральный угол или хорда.Если окружность вписали в равносторонний треугольник, квадрат или другой многоугольник, то радиус такой окружности можно найти, разделив площадь описанного многоугольника на половину его периметра (полупериметр):

    \[radius=\frac{ploschad'}{poluperimetr}.\]

Если окружность описать вокруг треугольника, то найти ее радиус можно с помощью формул:

    \[radius=\frac{storona1\cdot storona2\cdot storona3}{4\cdot ploschad'};\]

    \[radius=\frac{storona}{2\cdot {\sin \left(ugol\right)\ }}.\]

В последней формуле используется значение угла, который лежит против стороны треугольника.

ru.solverbook.com

Формула площади круга через диаметр или радиус или длину окружности.

Круг это плоская фигура, все точки которой, расположены на любом расстоянии от определенной точки (центр круга) но не больше заданной длины (радиус).Радиус круга - отрезок, соединяющий центр окружности и любую, максимально удаленную от центра точку круга.Диаметр круга - отрезок, соединяющий две любые точки максимально удаленные от центра круга и проходящий через этот центр. Диаметр, в два раза больше радиуса

Зная диаметр

или радиус круга или длину окружности, можно найти его площадь.

Формула площади круга, диаметр

 

r - радиус круга

D - диаметр круга

π ≈ 3.14

Формула площади круга, (S):

Формула площади круга

 

 

Решения задач

на тему: Площадь круга

 

Калькулятор для расчета площади круга через радиус

 

Калькулятор для расчета площади круга через диаметр

 

Формула площади круга через длину

 

L - длина окружности

О - центр круга

π ≈ 3.14

Формула площади круга если известна длина окружности, (S):

площадь круга через длину

 

Решения задач

на тему: Площадь круга

 

Калькулятор для расчета площади круга через длину

Подробности Автор: Сергей Кондратов Опубликовано: 07 сентября 2011 Обновлено: 09 ноября 2017

www-formula.ru