Квадратные уравнения - примеры с решением, особенности и формулы. Квадратные уравнения с двумя переменными как решать


Способы решения систем уравнений с двумя неизвестными

Линейные системы уравнений

Системы линейных уравнений. Метод подстановки 

+ показать

• Выражаем одну переменную через другую.

• Выраженную из одного уравнения переменную подставляем во второе уравнение. Получаем уравнение относительно одной переменной, которое и решаем.

• Опираясь на найденное значение одной переменной, находим значение второй, подставляя в оставшееся уравнение.

Решить систему уравнений: \begin{cases} -3x+y=-2,& &3x+5y=8;& \end{cases}

Решение: + показать

Системы линейных уравнений. Метод сложения 

+ показать

• Добиваемся, путем равносильных преобразований, наличия равных (или противоположных) коэффициентов при одной из неизвестных переменных в уравнениях.

• Вычитаем (или складываем) полученные уравнения с целью выхода на уравнение с одной неизвестной. 

• Решаем  полученное уравнение с одной неизвестной.

• Найденное значение одной переменной подставляем в любое из уравнений системы, находим значение второй.

1. Решить систему уравнений: \begin{cases} -3x+y=-2,& &3x+5y=8;& \end{cases}

Решение: + показать

Складываем уравнения системы, заменяя результатом одно из уравнений, оставляя другое.

\begin{cases} 6y=6,& &3x+5y=8;& \end{cases}

\begin{cases} y=1,& &3x+5\cdot 1=8;& \end{cases}

\begin{cases} y=1,& &x=1;& \end{cases}

Ответ: (1;1). 

2. Решить систему уравнений: \begin{cases} 4x-2y=1,& &3x-3y=-2;& \end{cases}

Решение: + показать

Нелинейные системы уравнений

Системы уравнений, сводящихся к линейным

1. Решить систему уравнений: \begin{cases} \frac{3}{x}-\frac{4}{y}=1,& &\frac{2}{x}+\frac{5}{y}=4,5;& \end{cases}

Решение: + показать

Можно сделать замену \frac{1}{x}=t и \frac{1}{y}=m. Тогда выходим на систему линейных уравнений:

\begin{cases} 3t-4m=1,& &2t+5m=4,5;& \end{cases}

Систему можно решить методом сложения, например.

Но приведем решение без замены.

Умножим первое уравнение системы на 5, второе – на 4 и произведем сложение полученных уравнений, оставим при этом в системе, например, первое уравнение исходной системы.

\begin{cases} \frac{15}{x}-\frac{20}{y}=5,& &\frac{8}{x}+\frac{20}{y}=18;& \end{cases}

\begin{cases} \frac{23}{x}=23,& &\frac{3}{x}-\frac{4}{y}=1;& \end{cases}

\begin{cases} x=1,& &\frac{3}{1}-\frac{4}{y}=1;& \end{cases}

\begin{cases} x=1,& &\frac{4}{y}=2;& \end{cases}

\begin{cases} x=1,& &y=2;& \end{cases}

Ответ: (1;2).  

2. Решить систему уравнений: \begin{cases} 3|x|+2y=1,& &2|x|-y=3;& \end{cases}

Решение: + показать

Можно сделать замену |x|=t и выйти на систему линейных уравнений:

\begin{cases} 3t+2y=1,& &2t-y=3;& \end{cases}

Приведем решение без замены.

Выражаем y из второго уравнения системы и подставляем в первое.

\begin{cases} 3|x|+2(2|x|-3)=1,& &y=2|x|-3;& \end{cases}

\begin{cases} 7|x|=7,& &y=2|x|-3;& \end{cases}

\begin{cases} x=\pm 1,& &y=2\cdot 1-3;& \end{cases}

\begin{cases} x=\pm 1,& &y=-1;& \end{cases}

Ответ: (1;-1), (-1;-1). 

Нелинейные системы уравнений. Метод подстановки

Решить систему уравнений: \begin{cases} x(y+1)=16,& &\frac{x}{y+1}=4;& \end{cases}

Решение: + показать

Выражаем y+1 из первого уравнения системы и подставляем во второе.

\begin{cases} y+1=\frac{16}{x},& &\frac{x}{\frac{16}{x}}=4;& \end{cases}

\begin{cases} y+1=\frac{16}{x},& &x^2=64;& \end{cases}

\begin{cases} y=\frac{16}{x}-1,& &x=\pm 8;& \end{cases}

\left[\begin{gathered} \begin{cases} x=8,& &y=1;& \end{cases}& \begin{cases} x=-8,& &y=-3;& \end{cases}& \end{gathered}\right&

Ответ: (8;1), (-8;-3). 

Нелинейные системы уравнений. Метод сложения

Решить систему уравнений: \begin{cases} x+y=5xy,& &x-y=xy;& \end{cases}

Решение: + показать

Складываем уравнения системы, заменяя результатом одно из уравнений, оставляя другое.

\begin{cases} 2x=6xy,& &x-y=xy;& \end{cases}

\begin{cases} x=3xy,& &x-y=xy;& \end{cases}

\begin{cases} x(1-3y)=0,& &x-y=xy;& \end{cases}

\left[\begin{gathered} \begin{cases} x=0,& &y=0;& \end{cases}& \begin{cases} y=\frac{1}{3},& &x=\frac{1}{2};& \end{cases}& \end{gathered}\right&

Ответ: (0;0),(\frac{1}{2};\frac{1}{3}). 

Нелинейные системы уравнений. Метод почленного умножения (деления)

1. Решить систему уравнений: \begin{cases} x+xy^3=9,& &xy+xy^2=6;& \end{cases}

Решение: + показать

\begin{cases} x(1+y^3)=9,& &xy(1+y)=6;& \end{cases}

Производим деление первой строки на вторую, оставляем в системе вторую строку без изменений.

\begin{cases} \frac{1+y^3}{y(1+y)}=\frac{3}{2},& &xy(1+y)=6;& \end{cases}

\begin{cases} \frac{(1+y)(1-y+y^2)}{y(1+y)}=\frac{3}{2},& &xy(1+y)=6;& \end{cases}

\begin{cases} \frac{1-y+y^2}{y}=\frac{3}{2},& &xy(1+y)=6;& \end{cases}

\begin{cases} 2y^2-5y+2=0,& &xy(1+y)=6;& \end{cases}

\left[\begin{gathered} \begin{cases} y=2,& &x=1;& \end{cases}& \begin{cases} y=\frac{1}{2},& &x=8;& \end{cases}& \end{gathered}\right&

Ответ: (1;2),(8;0,5). 

Симметрические системы. Метод введения переменной

Симметрическая система – система, все уравнения которой симметрические. Симметрическое уравнение от двух переменных x и y – уравнение, которое не изменяется при замене x на y и y на x.

Для таких систем удобно использовать замену x+y=u, xy=v. 

Решить систему уравнений: \begin{cases} xy-29=x+y,& &x^2+y^2=x+y+72;& \end{cases}

Решение: + показать

\begin{cases} xy-29=x+y,& &(x+y)^2-2xy=x+y+72;& \end{cases}

При замене x+y=u, xy=v  приходим к следующей системе

\begin{cases} v-29=u,& &u^2-2v=u+72;& \end{cases}

 которую будем решать способом подстановки:

\begin{cases} u=v-29,& &(v-29)^2-2v=v-29+72;& \end{cases}

\begin{cases} u=v-29,& &v^2-61v+798=0;& \end{cases}

\left[\begin{gathered} \begin{cases} v=42,& &u=13;& \end{cases}& \begin{cases} v=19,& &u=-10;& \end{cases}& \end{gathered}\right&

Производим обратную замену:

\left[\begin{gathered} \begin{cases} xy=42,& &x+y=13;& \end{cases}& \begin{cases} xy=19,& &x+y=-10;& \end{cases}& \end{gathered}\right&

\left[\begin{gathered} \begin{cases} x^2-13x+42=0,& &y=13-x;& \end{cases}& \begin{cases} x^2+10x+19=0,& &y=-10-x;& \end{cases}& \end{gathered}\right&

\left[\begin{gathered} \begin{cases} x=7,& &y=6;& \end{cases}& \begin{cases} x=6,& &y=7;& \end{cases}& \begin{cases} x=-5+\sqrt6,& &y=-5-\sqrt6;& \end{cases}& \begin{cases} x=-5-\sqrt6,& &y=-5+\sqrt6;& \end{cases}& \end{gathered}\right&

Ответ: (7;6),(6;7),(-5+\sqrt6;-5-\sqrt6),(-5-\sqrt6;-5+\sqrt6).

Системы однородных уравнений и приводящиеся к ним системы

Однородным уравнением с двумя неизвестными x,y будем называть уравнение вида ax^2+bxy+cy^2=0.

1. Решить систему уравнений: \begin{cases} x^2+3xy+2y^2=0,& &x^2+y^2=20;& \end{cases}

Решение: + показать

2. Решить систему уравнений: \begin{cases} x^2-5y^2=-1,& &3xy+7y^2=1;& \end{cases}

Решение: + показать

Применим прежде к системе метод сложения. После чего выйдем на однородное уравнение.

\begin{cases} x^2+3xy+2y^2=0,& &3xy+7y^2=1;& \end{cases}

\begin{cases} 1+3(\frac{y}{x})+2(\frac{y}{x})^2=0,& &3xy+7y^2=1;& \end{cases}

\left[\begin{gathered} \begin{cases} \frac{y}{x}=-1,& &3xy+7y^2=1;& \end{cases}& \begin{cases} \frac{y}{x}=-\frac{1}{2},& &3xy+7y^2=1;& \end{cases}& \end{gathered}\right&

\left[\begin{gathered} \begin{cases} y=-x,& &-3x^2+7y^2=1;& \end{cases}& \begin{cases} x=-2y,& &-6y^2+7y^2=1;& \end{cases}& \end{gathered}\right&

\left[\begin{gathered} \begin{cases} y=-x,& &y=\pm 0,5;& \end{cases}& \begin{cases} x=-2y,& &y=\pm 1;& \end{cases}& \end{gathered}\right&

Ответ: (-0,5;0,5),(0,5;-0,5),(1;-2),(-1;2).

Графический метод решения систем уравнений

1. Решите графически систему уравнений: \begin{cases} x+y=5,& &xy=4;& \end{cases}

Решение: + показать

Выразим в обеих строках системы y через x:

\begin{cases} y=5-x,& &y=\frac{4}{x};& \end{cases}

Первое уравнение системы задает прямую, второе – гиперболу. Строим графики в одной системе координат, находим координаты точек пересечения графиков.

Ответ: (1;4),(4;1).

2. Решите графически систему уравнений: \begin{cases} (x-3)^2+(y-2)^2=1,& &x-y=2;& \end{cases}

Решение: + показать

3. Решите графически систему уравнений: \begin{cases} y=(x-1)^2,& &y=\frac{x^2+6x+5}{x+1};& \end{cases}

Решение: + показать

——————————————————————————————————

Задания для самостоятельной работы

+ показать

Решите системы уравнений:

1. \begin{cases} x+2y=5,& &-x+7y=13;& \end{cases}

Ответ: (1;2).

2. \begin{cases} \frac{6}{x+y}+\frac{5}{x-y}=7,& &\frac{3}{x+y}-\frac{2}{x-y}=-1;& \end{cases}

Ответ: (2;1).

3. \begin{cases} 3|x|+2y=1,& &2|x|-y=3;& \end{cases}

Ответ: (1;-1),(-1;-1).

4. \begin{cases} \frac{x-1}{y+2}=2,& &(x-1)^2+(y+2)^2=45;& \end{cases}

Ответ: (7;1),(-5;-5).

5. \begin{cases} 7-x+y-xy=0,& &5-y+x-xy=0;& \end{cases}

Ответ: (3;2),(-2;-3).

6. \begin{cases} xy^2-x=9,& &xy-xy^3=-18;& \end{cases}

Ответ: (3;2).

7. \begin{cases} xy+2x+2y=5,& &x^2+y^2+3x+3y=8;& \end{cases}

Ответ: (1;1).

8. \begin{cases} 2x^2-2xy+3y^2=3,& &x^2-xy+2y^2=2;& \end{cases}

Ответ: (0;1),(0;-1),(1;1),(-1;-1).

Решите графически системы уравнений:

9. \begin{cases} y=|x^2+6x+5|,& &y-x=5;& \end{cases}

Ответ: (-5;0),(-2;3),(0;5).

10. \begin{cases} y=\frac{x^2-4x-12}{x+2},& &y=\frac{8}{x+1};& \end{cases}

Ответ: (7;1).

egemaximum.ru

Решение квадратных уравнений

6 июля 2011

Квадратные уравнения изучают в 8 классе, поэтому ничего сложного здесь нет. Умение решать их совершенно необходимо.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.

Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:

  1. Не имеют корней;
  2. Имеют ровно один корень;
  3. Имеют два различных корня.

В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — дискриминант.

Дискриминант

Пусть дано квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0. Тогда дискриминант — это просто число D = b2 − 4ac.

Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:

  1. Если D < 0, корней нет;
  2. Если D = 0, есть ровно один корень;
  3. Если D > 0, корней будет два.

Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:

Задача. Сколько корней имеют квадратные уравнения:

  1. x2 − 8x + 12 = 0;
  2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
  3. x2 − 6x + 9 = 0.

Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:a = 1, b = −8, c = 12;D = (−8)2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:a = 5; b = 3; c = 7;D = 32 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:a = 1; b = −6; c = 9;D = (−6)2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

Дискриминант равен нулю — корень будет один.

Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.

Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.

Корни квадратного уравнения

Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам:

Формула корней квадратного уравненияОсновная формула корней квадратного уравнения

Когда D = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D < 0, корней нет — ничего считать не надо.

Задача. Решить квадратные уравнения:

  1. x2 − 2x − 3 = 0;
  2. 15 − 2x − x2 = 0;
  3. x2 + 12x + 36 = 0.

Первое уравнение:x2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;D = (−2)2 − 4 · 1 · (−3) = 16.

D > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:

Решение простого квадратного уравнения

Второе уравнение:15 − 2x − x2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;D = (−2)2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их

\[\begin{align} & {{x}_{1}}=\frac{2+\sqrt{64}}{2\cdot \left( -1 \right)}=-5; \\ & {{x}_{2}}=\frac{2-\sqrt{64}}{2\cdot \left( -1 \right)}=3. \\ \end{align}\]

Наконец, третье уравнение:x2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;D = 122 − 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:

\[x=\frac{-12+\sqrt{0}}{2\cdot 1}=-6\]

Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок.

Неполные квадратные уравнения

Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:

  1. x2 + 9x = 0;
  2. x2 − 16 = 0.

Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:

Уравнение ax2 + bx + c = 0 называется неполным квадратным уравнением, если b = 0 или c = 0, т.е. коэффициент при переменной x или свободный элемент равен нулю.

Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b = c = 0. В этом случае уравнение принимает вид ax2 = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x = 0.

Рассмотрим остальные случаи. Пусть b = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax2 + c = 0. Немного преобразуем его:

Решение неполного квадратного уравненияРешение неполного квадратного уравнения

Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (−c/a) ≥ 0. Вывод:

  1. Если в неполном квадратном уравнении вида ax2 + c = 0 выполнено неравенство (−c/a) ≥ 0, корней будет два. Формула дана выше;
  2. Если же (−c/a) < 0, корней нет.

Как видите, дискриминант не потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще нет сложных вычислений. На самом деле даже необязательно помнить неравенство (−c/a) ≥ 0. Достаточно выразить величину x2 и посмотреть, что стоит с другой стороны от знака равенства. Если там положительное число — корней будет два. Если отрицательное — корней не будет вообще.

Теперь разберемся с уравнениями вида ax2 + bx = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители:

Разложение уравнения на множителиВынесение общего множителя за скобку

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:

Задача. Решить квадратные уравнения:

  1. x2 − 7x = 0;
  2. 5x2 + 30 = 0;
  3. 4x2 − 9 = 0.

x2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = −30 ⇒ x2 = −6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.

4x2 − 9 = 0 ⇒ 4x2 = 9 ⇒ x2 = 9/4 ⇒ x1 = 3/2 = 1,5; x2 = −1,5.

Смотрите также:

  1. Теорема Виета
  2. Следствия из теоремы Виета
  3. Стандартный вид числа
  4. Комбинаторика в задаче B6: легкий тест
  5. Задача C2: уравнение плоскости через определитель
  6. Задачи на проценты считаем проценты с помощью формулы

www.berdov.com

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике - Алгебра

Системы нелинейных уравнений нелинейные уравнения с двумя неизвестными однородные уравнения второй степени примеры решения задач

Нелинейные уравнения с двумя неизвестными

      Определение 1. Пусть   A   – некоторое множество пар чисел   (x ;  y) .   Говорят, что на множестве   A   задана числовая функция   z   от двух переменных   x   и   y ,   если указано правило, с помощью которого каждой паре чисел из множества   A   ставится в соответствие некоторое число.

      Задание числовой функции   z   от двух переменных   x   и   y   часто обозначают так:

причем в записи (1) числа   x   и   y   называют аргументами функции, а число   z   – значением функции, соответствующим паре аргументов   (x ; y) .

      Определение 2. Нелинейным уравнением с двумя неизвестными   x   и   y   называют уравнение вида

где   f (x , y)   – любая функция, отличная от функции

f (x , y) = ax +by + c ,

где   a ,  b ,  c   – заданные числа.

      Определение 3. Решением уравнения (2) называют пару чисел   (x ; y) ,   для которых формула (2) является верным равенством.

      Пример 1. Решить уравнение

x2 – 4xy + 6y2 –– 12 y +18 = 0 .(3)

      Решение. Преобразуем левую часть уравнения (3):

x2 – 4xy + 6y2 – 12 y +18 == (x2 – 4xy + 4y2) ++ (2y2– 12y +18) == (x – 2y)2 + 2(y – 3)2 .

      Таким образом, уравнение (3) можно переписать в виде

(x – 2y)2 + 2(y – 3)2 = 0 .(4)

      Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, то из формулы (4) вытекает, что неизвестные   x   и   y   удовлетворяют системе уравнений

нелинейные уравнения с двумя неизвестными примеры решения задач

решением которой служит пара чисел   (6 ; 3) .

      Ответ:   (6 ; 3)

      Пример 2. Решить уравнение

      Решение. Из неравенства

нелинейные уравнения с двумя неизвестными примеры решения задач

вытекает, что уравнение (5) решений не имеет.

      Ответ: Решений нет.

      Пример 3. Решить уравнение

      Решение. В соответствии с определением логарифма из формулы (6) получаем

нелинейные уравнения с двумя неизвестными примеры решения задач

      Следовательно, решением уравнения (6) является бесконечное множество пар чисел вида

(1 + y ; y) ,

где   y   – любое число.

Системы из двух уравнений, одно из которых линейное

      Определение 4. Решением системы уравнений

Системы нелинейных уравнений

называют пару чисел   (x ; y) ,   при подстановке которых в каждое из уравнений этой системы получается верное равенство.

      Системы из двух уравнений, одно из которых линейное, имеют вид

Системы нелинейных уравнений

где   a ,  b ,  c   – заданные числа, а   g(x , y)   – функция двух переменных   x   и   y .  

      Пример 4. Решить систему уравнений

Системы нелинейных уравнений примеры решения задач(7)

      Решение. Выразим из первого уравнения системы (7) неизвестное   y   через неизвестное   x   и подставим полученное выражение во второе уравнение системы:

Системы нелинейных уравнений примеры решения задачСистемы нелинейных уравнений примеры решения задачСистемы нелинейных уравнений примеры решения задач

      Решая уравнение

x2 – 8x – 9 = 0 ,

находим корни

x1 = – 1 ,   x2 = 9 .

      Следовательно,

y1 = 8 – x1 = 9 ,   y2 = 8 – x2 = – 1 .

      Таким образом, решениями системы (7) являются две пары чисел

Системы нелинейных уравнений примеры решения задач и     Системы нелинейных уравнений примеры решения задач

Ответ:   (– 1 ; 9) ,   (9 ; – 1)

Однородные уравнения второй степени с двумя неизвестными

      Определение 5. Однородным уравнением второй степени с двумя неизвестными   x   и   y   называют уравнение вида

ax2 + bxy + cy2 = 0 .

где   a ,  b ,  c   – заданные числа.

      Пример 5. Решить уравнение

3x2 – 8xy + 5y2 = 0 .(8)

      Решение. Для каждого значения   y   рассмотрим уравнение (8) как квадратное уравнение относительно неизвестного   x .   Тогда дискриминант   D   квадратного уравнения (8) будет выражаться по формуле

D = (8y)2 – 60y2 = 4y2 ,

откуда с помощью формулы для корней квадратного уравнения найдем корни уравнения (8):

Системы нелинейных уравнений примеры решения задачСистемы нелинейных уравнений примеры решения задач

      Ответ. Решениями уравнения (8) являются все пары чисел вида

( y ; y)   или     Системы нелинейных уравнений примеры решения задач

где   y   – любое число.

      Следствие. Левую часть уравнения (8) можно разложить на множители

Системы нелинейных уравнений примеры решения задачСистемы нелинейных уравнений примеры решения задач

Системы из двух уравнений, одно из которых однородное

      Системы из двух уравнений, одно из которых однородное, имеют вид

Системы нелинейных уравнений однородные уравнения второй степени примеры решения задач

где   a ,  b ,  c   – заданные числа, а   g(x , y)   – функция двух переменных   x   и   y .

      Пример 6. Решить систему уравнений

Системы нелинейных уравнений однородные уравнения второй степени примеры решения задач(9)

      Решение. Решим однородное уравнение

3x2 + 2xy – y2 = 0 ,

рассматривая его как квадратное уравнение относительно неизвестного   x :

Системы нелинейных уравнений однородные уравнения второй степени примеры решения задач.

      В случае, когда   x = – y ,   из второго уравнения системы (9) получаем уравнение

4y2 = 16 ,

корнями которого служат числа   y1 = 2 ,   y2 = – 2 .  Находя для каждого из этих значений   y   соответствующее ему значение   x ,   получаем два решения системы:   (– 2 ; 2) ,   (2 ; – 2) .

      В случае, когда

Системы нелинейных уравнений однородные уравнения второй степени примеры решения задач,

из второго уравнения системы (9) получаем уравнение

Системы нелинейных уравнений однородные уравнения второй степени примеры решения задач

которое корней не имеет.

Ответ:   (– 2 ; 2) ,   (2 ; – 2)

Системы из двух уравнений, сводящиеся к системам, в которых одно из уравнений однородное

      Пример 7. Решить систему уравнений

Системы нелинейных уравнений однородные уравнения второй степени примеры решения задач(10)

      Решение. Совершим над системой (10) следующие преобразования:

  • второе уравнение системы оставим без изменений;
  • к первому уравнению, умноженному на   5 ,   прибавим второе уравнение, умноженное на   3 ,   и запишем полученный результат вместо первого уравнения системы (10).

      В результате система (10) преобразуется в равносильную ей систему (11), в которой первое уравнение является однородным уравнением:

Системы нелинейных уравнений однородные уравнения второй степени примеры решения задач(11)

     Решим однородное уравнение

3x2 + 17xy + 10y2 = 0 ,

рассматривая его как квадратное уравнение относительно неизвестного   x :

Системы нелинейных уравнений однородные уравнения второй степени примеры решения задач.

      В случае, когда   x = – 5y ,   из второго уравнения системы (11) получаем уравнение

5y2 = – 20 ,

которое корней не имеет.

      В случае, когда

Системы нелинейных уравнений однородные уравнения второй степени примеры решения задач,

из второго уравнения системы (11) получаем уравнение

Системы нелинейных уравнений однородные уравнения второй степени примеры решения задач,

корнями которого служат числа   y1 = 3 ,   y2 = – 3 .  Находя для каждого из этих значений   y   соответствующее ему значение   x ,   получаем два решения системы:   (– 2 ; 3) ,   (2 ; – 3) .

Ответ:   (– 2 ; 3) ,   (2 ; – 3)

Примеры решения систем уравнений других видов

      Пример 8. Решить систему уравнений (МФТИ)

Системы нелинейных уравнений примеры решения задачСистемы нелинейных уравнений примеры решения задач(12)

      Решение. Введем новые неизвестные   u   и   v ,   которые выражаются через   x   и   y   по формулам:

Системы нелинейных уравнений примеры решения задач(13)

      Для того, чтобы переписать систему (12) через новые неизвестные, выразим сначала неизвестные   x   и   y   через   u   и   v .   Из системы (13) следует, что

Системы нелинейных уравнений примеры решения задач(14)

      Решим линейную систему (14), исключив из второго уравнения этой системы переменную   x .   С этой целью совершим над системой (14) следующие преобразования:

  • первое уравнение системы оставим без изменений;
  • из второго уравнения вычтем первое уравнение и заменим второе уравнение системы на полученную разность.

      В результате система (14) преобразуется в равносильную ей систему

Системы нелинейных уравнений примеры решения задач

из которой находим

Системы нелинейных уравнений примеры решения задач(15)

      Воспользовавшись формулами (13) и (15), перепишем исходную систему (12) в виде

Системы нелинейных уравнений примеры решения задач(16)

      У системы (16) первое уравнение – линейное, поэтому мы можем выразить из него неизвестное   u   через неизвестное   v   и подставить это выражение во второе уравнение системы:

Системы нелинейных уравнений примеры решения задачСистемы нелинейных уравнений примеры решения задачСистемы нелинейных уравнений примеры решения задач

      Решая уравнение

2v2 + 3v – 14 = 0 ,

находим корни

Системы нелинейных уравнений примеры решения задач

      Следовательно, решениями системы (16) являются две пары чисел

Системы нелинейных уравнений примеры решения задач

      Из формул (13) вытекает, что   Системы нелинейных уравнений примеры решения задач,  поэтому первое решение должно быть отброшено. В случае   u2 = 5,   v2 = 2   из формул (15) находим значения   x   и   y :

x = 13,   y = – 3 .

      Ответ:   (13 ; – 3)

      Определение 6. Решением системы из двух уравнений с тремя неизвестными называют тройку чисел   (x ; y ; z) ,   при подстановке которых в каждое уравнение системы получается верное равенство.

      Пример 9. Решить систему из двух уравнений с тремя неизвестными

Системы нелинейных уравнений примеры решения задач(17)

      Решение. У системы (17) первое уравнение – линейное, поэтому мы можем выразить из него неизвестное   z   через неизвестные   x   и   y   и подставить это выражение во второе уравнение системы:

Системы нелинейных уравнений примеры решения задач(18)

      Перепишем второе уравнение системы (18) в другом виде:

Системы нелинейных уравнений примеры решения задачСистемы нелинейных уравнений примеры решения задачСистемы нелинейных уравнений примеры решения задач

      Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, то выполнение последнего равенства возможно лишь в случае   x = 4,   y = 4 .

      Следовательно,

Системы нелинейных уравнений примеры решения задач

      Ответ:   (4 ; 4 ; – 4)

      Замечание. Рекомендуем посетителю нашего сайта, интересующемуся методами решения систем уравнений, ознакомиться также c разделом справочника «Системы линейных уравнений» и нашим учебным пособием «Системы уравнений».

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

      У нас также для школьников организованы

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

www.resolventa.ru

Квадратные уравнения. Полное квадратное уравнение. Неполное квадратное уравнение. Дискриминант.

Как решить квадратное уравнение?Как выглядит формула квадратного уравнения?Какие бывают квадратные уравнения?Что такое полное квадратное уравнение?Что такое неполное квадратное уравнение?Что такое дискриминант?Сколько корней имеет квадратное уравнение?Эти вопросы вас больше не будут мучить, после изучения материала.

Формула квадратного уравнения:

ax2+bx+c=0,где a≠0

где x — переменная,a,b,c — числовые коэффициенты.

квадратное уравнениеВиды квадратного уравнения

Пример полного квадратного уравнения:

3x2-3x+2=0x2-16x+64=0

Решение полных квадратных уравнений сводится к нахождению дискриминанта:

Формула дискриминанта:

D=b2-4aс

Если D>0, то уравнение имеет два корня и находим эти корни по формуле:

нахождения корней квадратного уравнения через дискриминантКорни квадратного уравнения

Если D=0, уравнение имеет один корень

корень уравнениякорень уравнения

Если D<0, уравнение не имеет вещественных корней.

Рассмотрим пример №1:

x2-x-6=0

Записываем сначала, чему равны числовые коэффициенты a, b и c.

Коэффициент a всегда стоит перед x2, коэффициент b  всегда перед переменной x, а коэффициент  c – это свободный член.a=1,b=-1,c=-6

Находим дискриминант:D=b2-4ac=(-1)2-4∙1∙(-6)=1+24=25

Дискриминант больше нуля, следовательно, у нас два корня, найдем их:

Корни уравненияНахождения корней по дискриминанту

Ответ: x1=3; x2=-2

Пример №2:x2+2x+1=0Записываем, чему равны числовые коэффициенты a,b и c.a=1,b=2,c=1Далее находи дискриминант.D=b2-4ac=(2)2-4∙1∙1=4-4=0Дискриминант равен нулю, следовательно, один корень:x=-b/2a=-2/(2∙1)=-1

Ответ: x=-1

Пример №3:7x2-x+2=0Записываем, чему равны числовые коэффициенты a,b и c.a=7,b=-1,c=2Далее находи дискриминант.D=b2-4ac=(-1)2-4∙7∙2=1-56=-55Дискриминант меньше нуля, следовательно, корней нет.

Рассмотрим неполное квадратное уравнение:ax2+bx=0, где числовой коэффициент c=0.

Пример как выглядят такие уравнения:x2-8x=05x2+4x=0

Чтобы решить такое уравнение необходимо переменную x вынести за скобки. А потом каждый множитель приравнять к нулю и решить уже простые уравнения.ax2+bx=0x(ax+b)=0x1=0 x2=-b/a

Пример №1:3x2+6x=0Выносим переменную x за скобку,x(3x+6)=0Приравниваем каждый множитель к нулю,x1=0

3x+6=03x=-6Делим все уравнение на 3, чтобы получить у переменной x коэффициент равный 1.x=(-6)/3x2=-2

Ответ: x1=0; x2=-2

Пример №2:x2-x=0Выносим переменную x за скобку,x(x-1)=0Приравниваем каждый множитель к нулю,x1=0

x-1=0x2=1

Ответ: x1=0; x2=1

Рассмотрим неполное квадратное уравнение:ax2+c=0, где числовой коэффициент b=0.

Чтобы решить это уравнение, нужно записать так:x2=c/a , если число c/a будет отрицательным числом, то уравнение не имеет решения.А если c/a положительное число, то решение выглядит таким образом:

корень квадратного уравнениякорень квадратного уравнения

Пример №1:x2+5=0x2=-5, видно, что -5<0, значит нет решения.Ответ: нет решения

Пример №2:3x2-12=03x2=12x2=12/3x2=4

4>0 следовательно, есть решение,x1=√4x1=2

x2=-√4x2=-2

Ответ: x1=2; x2=-2

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE и смотрите видео, подготавливайтесь к экзаменам по математике и геометрии с нами.

tutomath.ru

Урок в 9-м классе "Система уравнений, сводящихся к квадратным"

Разделы: Математика

Цели урока:

  1. Повторить ранее изученные различные способы решения уравнений, сводящихся к квадратным.
  2. Научить сотрудничеству учеников посредством работы в малых группах, а так же взаимопомощи в процессе обучения. 3. Развитие познавательного интереса, интереса к педагогической деятельности.

Форма проведения: Работа в малых группах, с участием консультантов.

ХОД УРОКА

I. Организация начала урока.

Деление на группы

II. Сообщение учащимся цели предстоящей работы. Мотивация учения.

III. Интеллектуальная разминка. (Приложение 1)

Разминка в форме тестовых заданий. Подготовка к ЕГЭ.

IV. Проверка индивидуального домашнего задания, направленного на повторение основных понятий, основополагающих знаний, умений, способов действий. У доски работают консультанты. На предыдущем уроке им было задано индивидуальное домашнее задание.

Системы нелинейных уравнений, сводящихся к квадратным. (Приложение 2)

Решить систему уравнений

Решение: Если вычесть второе уравнение из первого, получим Значит надо решить систему уравнений

Из первого уравнения находим, что Подставляя х во второе уравнение, получаем

откуда . Корнями этого квадратного уравнения служат . Если y1=3, то из находим х1=1. Если же .

Ответ:

Возможный способ оформления

Решим второе уравнение

Ответ:

Метод введения новых неизвестных при решении систем уравнений. (Приложение 3)

Решить систему уравнений

Решение. Обозначим через u, а через v. Тогда система примет вид

То есть получится система двух линейных уравнений с двумя неизвестными u и v. Из первого уравнения выражаем u через v: и подставляя во второе уравнение, получим , откуда v=2. Теперь находим u=1 и решаем уравнения

Ответ:

Возможный способ оформления

Пусть , тогда

Возвращаемся к переменным х и у.

Ответ:

Однородные уравнения. (Приложение 4)

Решить систему уравнений

Решение. Заметим, что для решений системы выполняется условие . В самом деле, из первого уравнения системы следует, что если , а числа не удовлетворяют второму уравнению системы. Разделим первое уравнение на . Получится уравнение

Введем вспомогательное неизвестное . Уравнение примет вид . Это квадратное уравнение, имеющее корни . Таким образом, из первого уравнения мы получаем, что либо либо . Осталось подставить выражения и (рассмотрев оба случая) во второе уравнение системы. В первом случае получится уравнение , откуда ; соответственно . Во втором случае получается уравнение , откуда ; соответственно

Ответ:

Возможный способ оформления

разделим первое уравнение на , получим

Пусть , тогда

Вернемся к переменным х и у.

Ответ:

V. Работа в малых группах.

Учащиеся получают задания на карточках и начинают работать в группах, обращаясь к консультантам за помощью при затруднениях.

    Задания группам

Вариант 1

Решите систему уравнений

    Задания группам

Вариант 2

Решите систему уравнений

VI. Подведение итогов урока.

VII. Задание на дом.

Задание по группам. Группа консультантов выполняет № 624 (4, 6, 8).

Для остальных № 623 (1, 3), № 624 (1, 3).

Поделиться страницей:

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Квадратные уравнения - примеры с решением, особенности и формулы

В современном обществе умение производить действия с уравнениями, содержащими переменную, возведённую в квадрат, может пригодиться во многих областях деятельности и широко применяется на практике в научных и технических разработках. Свидетельством тому может служить конструирование морских и речных судов, самолётов и ракет. При помощи подобных расчётов определяют траектории перемещения самых разных тел, в том числе и космических объектов. Примеры с решением квадратных уравнений находят применение не только в экономическом прогнозировании, при проектировании и строительстве зданий, но и в самых обычных житейских обстоятельствах. Они могут понадобиться в туристических походах, на спортивных состязаниях, в магазинах при совершении покупок и в других весьма распространённых ситуациях.

 Ключевые слова квадратные уравнения примеры с решением

Разобьём выражение на составляющие множители

Степень уравнения определяется максимальным значением степени у переменной, которую содержит данное выражение. В случае, если она равна 2, то подобное уравнение как раз и называется квадратным.

Если изъясняться языком формул, то указанные выражения, как бы они ни выглядели, всегда можно привести к виду, когда левая часть выражения состоит из трёх слагаемых. Среди них: ax2 (то есть переменная, возведённая в квадрат со своим коэффициентом), bx (неизвестное без квадрата со своим коэффициентом) и c (свободная составляющая, то есть обычное число). Всё это в правой части приравнивается 0. В случае, когда у подобного многочлена отсутствует одно из его составляющих слагаемых, за исключением ax2, оно называется неполным квадратным уравнением. Примеры с решением таких задач, значение переменных в которых найти несложно, следует рассмотреть в первую очередь.

Если выражение на вид выглядит таким образом, что слагаемых у выражения в правой части два, точнее ax2 и bx, легче всего отыскать х вынесением переменной за скобки. Теперь наше уравнение будет выглядеть так: x(ax+b). Далее становится очевидно, что или х=0, или задача сводится к нахождению переменной из следующего выражения: ax+b=0. Указанное продиктовано одним из свойств умножения. Правило гласит, что произведение двух множителей даёт в результате 0, только если один из них равен нулю.

Пример

8x2 - 3x = 0

x(8x – 3) = 0

Далее действуем согласно только что описанному правилу.

x=0 или 8х – 3 = 0

В результате получаем два корня уравнения: 0 и 0,375.

Уравнения такого рода могут описывать перемещение тел под действием силы тяжести, начавших движение из определённой точки, принятой за начало координат. Здесь математическая запись принимает следующую форму: y = v0t + gt2/2. Подставив необходимые значения, приравняв правую часть 0 и найдя возможные неизвестные, можно узнать время, проходящее с момента подъёма тела до момента его падения, а также многие другие величины. Но об этом мы поговорим позднее.

Квадратные уравнения: дискриминант, решение

Разложение выражения на множители

Описанное выше правило даёт возможность решать указанные задачи и в более сложных случаях. Рассмотрим примеры с решением квадратных уравнений такого типа.

X2 – 33x + 200 = 0

Этот квадратный трёхчлен является полным. Для начала преобразуем выражение и разложим его на множители. Их получается два: (x-8) и (x-25) = 0. В результате имеем два корня 8 и 25.

Примеры с решением квадратных уравнений в 9 классе позволяют данным методом находить переменную в выражениях не только второго, но даже третьего и четвёртого порядков.

Например: 2x3 + 2x2 – 18x – 18 = 0. При разложении правой части на множители с переменной, их получается три, то есть (x+1),(x-3) и (x+3).

В результате становится очевидно, что данное уравнение имеет три корня: -3; -1; 3.

Извлечение квадратного корня

Другим случаем неполного уравнения второго порядка является выражение, на языке букв представленное таким образом, что правая часть строится из составляющих ax2 и c. Здесь для получения значения переменной свободный член переносится в правую сторону, а после этого из обеих частей равенства извлекается квадратный корень. Следует обратить внимание, что и в данном случае корней уравнения обычно бывает два. Исключением могут служить лишь только равенства, вообще не содержащие слагаемое с, где переменная равна нулю, а также варианты выражений, когда правая часть оказывается отрицательной. В последнем случае решений вообще не существует, так как указанные выше действия невозможно производить с корнями. Примеры решений квадратных уравнений такого типа необходимо рассмотреть.

3x2- 48 = 0

3x2 = 48

В данном случае корнями уравнения окажутся числа -4 и 4.

Вычисление пощади земельного участка

Потребность в подобного рода вычислениях появилась в глубокой древности, ведь развитие математики во многом в те далёкие времена было обусловлено необходимостью определять с наибольшей точностью площади и периметры земельных участков.

Решение полных квадратных уравнений

Примеры с решением квадратных уравнений, составленных на основе задач такого рода, следует рассмотреть и нам.

Итак, допустим имеется прямоугольный участок земли, длина которого на 16 метров больше, чем ширина. Следует найти длину, ширину и периметр участка, если известно, что его площадь равна 612 м2.

Приступая к делу, сначала составим необходимое уравнение. Обозначим за х ширину участка, тогда его длина окажется (х+16). Из написанного следует, что площадь определяется выражением х(х+16), что, согласно условию нашей задачи, составляет 612. Это значит, что х(х+16) = 612.

Решение полных квадратных уравнений, а данное выражение является именно таковым, не может производиться прежним способом. Почему? Хотя левая часть его по-прежнему содержит два множителя, произведение их совсем не равно 0, поэтому здесь применяются другие методы.

Дискриминант

Прежде всего произведём необходимые преобразования, тогда внешний вид данного выражения будет выглядеть таким образом: x2 + 16x – 612 = 0. Это значит, мы получили выражение в форме, соответствующей указанному ранее стандарту, где a=1, b=16, c=-612.

Это может стать примером решения квадратных уравнений через дискриминант. Здесь необходимые расчёты производятся по схеме: D = b2 – 4ac. Данная вспомогательная величина не просто даёт возможность найти искомые величины в уравнении второго порядка, она определяет количество возможных вариантов. В случае, если D>0, их два; при D=0 существует один корень. В случае, если D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

О корнях и их формуле

В нашем случае дискриминант равен: 256 – 4(-612) = 2704. Это говорит о том, что ответ у нашей задачи существует. Если знать, к примеру, дискриминант, решение квадратных уравнений нужно продолжать с применением ниже приведённой формулы. Она позволяет вычислить корни.

Решение квадратных уравнений: примеры и подробное решение

Это значит, что в представленном случае: x1=18, x2=-34. Второй вариант в данной дилемме не может являться решением, потому что размеры земельного участка не могут измеряться в отрицательных величинах, значит х (то есть ширина участка) равна 18 м. Отсюда вычисляем длину: 18+16=34, и периметр 2(34+18)=104(м2).

Примеры и задачи

Продолжаем изучение квадратных уравнений. Примеры и подробное решение нескольких из них будут приведены далее.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Перенесём всё в левую часть равенства, сделаем преобразование, то есть получим вид уравнения, который принято именовать стандартным, и приравняем его нулю.

15x2 + 20x + 5 – 12x2 – 27x – 1 = 0

Сложив подобные, определим дискриминант: D = 49 – 48 = 1. Значит у нашего уравнения будет два корня. Вычислим их согласно приведённой выше формуле, а это значит, что первый из них буде равен 4/3, а второй 1.

2) Теперь раскроем загадки другого рода.

Выясним, есть ли вообще здесь корни x2 – 4x + 5 = 1? Для получения исчерпывающего ответа приведём многочлен к соответствующему привычному виду и вычислим дискриминант. В указанном примере решение квадратного уравнения производить не обязательно, ведь суть задачи заключается совсем не в этом. В данном случае D = 16 – 20 = -4, а значит, корней действительно нет.

Теорема Виета

Квадратные уравнения удобно решать через указанные выше формулы и дискриминант, когда из значения последнего извлекается квадратный корень. Но это бывает не всегда. Однако способов для получения значений переменных в данном случае существует множество. Пример: решения квадратных уравнений по теореме Виета. Она названа в честь Франсуа Виета, который жил в XVI веке во Франции и сделал блестящую карьеру благодаря своему математическому таланту и связям при дворе. Портрет его можно увидеть в статье.

Квадратные уравнения: примеры с решением 9 класс

Закономерность, которую заметил прославленный француз, заключалась в следующем. Он доказал, что корни уравнения в сумме численно равны -p=b/a, а их произведение соответствует q=c/a.

Теперь рассмотрим конкретные задачи.

3x2 + 21x – 54 = 0

Для простоты преобразуем выражение:

x2 + 7x – 18 = 0

Воспользуемся теоремой Виета, это даст нам следующее: сумма корней равна -7, а их произведение -18. Отсюда получим, что корнями уравнения являются числа -9 и 2. Сделав проверку, убедимся, что эти значения переменных действительно подходят в выражение.

График и уравнение параболы

Понятия квадратичная функция и квадратные уравнения тесно связаны. Примеры подобного уже были приведены ранее. Теперь рассмотрим некоторые математические загадки немного подробнее. Любое уравнение описываемого типа можно представить наглядно. Подобная зависимость, нарисованная в виде графика, называется параболой. Различные её виды представлены на рисунке ниже.

Квадратные уравнения, теорема Виета: пример решения

Любая парабола имеет вершину, то есть точку, из которой выходят её ветви. В случае если a>0, они уходят высоко в бесконечность, а когда a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x2. В данном случае в уравнении x2=0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Наглядные изображения функций помогают решать любые уравнения, в том числе и квадратные. Этот метод называется графическим. А значением переменной х является координата абсцисс в точках, где происходит пересечение линии графика с 0x. Координаты вершины можно узнать по только что приведённой формуле x0 = -b/2a. И, подставив полученное значение в изначальное уравнение функции, можно узнать y0, то есть вторую координату вершины параболы, принадлежащую оси ординат.

Пересечение ветвей параболы с осью абсцисс

Примеров с решением квадратных уравнений очень много, но существуют и общие закономерности. Рассмотрим их. Понятно, что пересечение графика с осью 0x при a>0 возможно только если у0 принимает отрицательные значения. А для a<0 координата у0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. В противном случае D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

По графику параболы можно определить и корни. Верно также обратное. То есть если получить наглядное изображение квадратичной функции нелегко, можно приравнять правую часть выражения к 0 и решить полученное уравнение. А зная точки пересечения с осью 0x, легче построить график.

Из истории

С помощью уравнений, содержащих переменную, возведённую в квадрат, в старину не только делали математические расчёты и определяли площади геометрических фигур. Подобные вычисления древним были нужны для грандиозных открытий в области физики и астрономии, а также для составления астрологических прогнозов.

Примеры решения квадратных уравнений с корнями

Как предполагают современные деятели науки, одними из первых решением квадратных уравнений занялись жители Вавилона. Произошло это за четыре столетия до наступления нашей эры. Разумеется, их вычисления в корне отличались от ныне принятых и оказывались гораздо примитивней. К примеру, месопотамские математики понятия не имели о существовании отрицательных чисел. Незнакомы им были также другие тонкости из тех, которые знает любой школьник современности.

Возможно, ещё раньше учёных Вавилона решением квадратных уравнений занялся мудрец из Индии Баудхаяма. Произошло это примерно за восемь столетий до наступления эры Христа. Правда, уравнения второго порядка, способы решения которых он привёл, были самыми наипростейшими. Кроме него, подобными вопросами интересовались в старину и китайские математики. В Европе квадратные уравнения начали решать лишь в начале XIII столетия, но зато позднее их использовали в своих работах такие великие учёные, как Ньютон, Декарт и многие другие.

fb.ru

10 способов решения квадратных уравнений

В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать многие уравнения. Имеется десять способов решения квадратных уравнений. Подробно в своей работе я разобрала каждый из них.

1. СПОСОБ : Разложение левой части уравнения на множители.

Решим уравнение

х2 + 10х - 24 = 0 .

Разложим левую часть на множители:

х2 + 10х - 24 = х2 + 12х - 2х - 24 = х(х + 12) - 2(х + 12) = (х + 12)(х - 2).

Следовательно, уравнение можно переписать так:

(х + 12)(х - 2) = 0

Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается нуль при х = 2 , а также при х = - 12 . Это означает, что число 2 и - 12 являются корнями уравнения х2 + 10х - 24 = 0 .

2. СПОСОБ : Метод выделения полного квадрата.

Решим уравнение х2 + 6х - 7 = 0 .

Выделим в левой части полный квадрат.

Для этого запишем выражение х2 + 6х в следующем виде:

х2 + 6х = х2 + 2• х • 3.

В полученном выражении первое слагаемое - квадрат числа х, а второе - удвоенное произведение х на 3. По этому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 32 , так как

х2 + 2• х • 3 + 32 = (х + 3)2 .

Преобразуем теперь левую часть уравнения

х2 + 6х - 7 = 0 ,

прибавляя к ней и вычитая 32 . Имеем:

х2 + 6х - 7 = х2 + 2• х • 3 + 32 - 32 - 7 = (х + 3)2 - 9 - 7 = (х + 3)2 - 16.

Таким образом, данное уравнение можно записать так:

(х + 3)2 - 16 =0, (х + 3)2 = 16.

Следовательно, х + 3 - 4 = 0, х1 = 1, или х + 3 = -4, х2 = -7.

3. СПОСОБ : Решение квадратных уравнений по формуле.

Умножим обе части уравнения

ах2 + b х + с = 0, а ≠ 0

на 4а и последовательно имеем:

4а2 х2 + 4а b х + 4ас = 0,

((2ах)2 + 2ах • b + b 2 ) - b 2 + 4 ac = 0,

(2ax + b)2 = b2 - 4ac,

2ax + b = ± √ b2 - 4ac,

2ax = - b ± √ b2 - 4ac,

Примеры .

а) Решим уравнение: 4х2 + 7х + 3 = 0.

а = 4, b = 7, с = 3, D = b 2 - 4 ac = 72 - 4 • 4 • 3 = 49 - 48 = 1,

D > 0, два разных корня;

Таким образом, в случае положительного дискриминанта, т.е. при

b 2 - 4 ac >0 , уравнение ах2 + b х + с = 0 имеет два различных корня.

б) Решим уравнение: 4х2 - 4х + 1 = 0,

а = 4, b = - 4, с = 1, D = b 2 - 4 ac = (-4)2 - 4 • 4 • 1= 16 - 16 = 0,

D = 0, один корень;

Итак, если дискриминант равен нулю, т.е. b 2 - 4 ac = 0 , то уравнение

ах2 + b х + с = 0 имеет единственный корень,

в) Решим уравнение: 2х2 + 3х + 4 = 0,

а = 2, b = 3, с = 4, D = b 2 - 4 ac = 32 - 4 • 2 • 4 = 9 - 32 = - 13 , D < 0.

Данное уравнение корней не имеет.

Итак, если дискриминант отрицателен, т.е. b 2 - 4 ac < 0 ,

уравнение ах2 + b х + с = 0 не имеет корней.

Формула (1) корней квадратного уравнения ах2 + b х + с = 0 позволяет найти корни любого квадратного уравнения (если они есть), в том числе приведенного и неполного. Словесно формула (1) выражается так: корни квадратного уравнения равны дроби, числитель которой равен второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, плюс минус корень квадратный из квадрата этого коэффициента без учетверенного произведения первого коэффициента на свободный член, а знаменатель есть удвоенный первый коэффициент.

4. СПОСОБ: Решение уравнений с использованием теоремы Виета.

Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид

х2 + px + c = 0. (1)

Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а =1 имеет вид

x 1 x 2 = q ,

x 1 + x 2 = - p

Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней).

а) Если сводный член q приведенного уравнения (1) положителен (q > 0 ), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависти от второго коэффициента p . Если р < 0 , то оба корня отрицательны, если р < 0 , то оба корня положительны.

Например,

x 2 – 3 x + 2 = 0; x 1 = 2 иx 2 = 1, так какq = 2 > 0 иp = - 3 < 0;

x 2 + 8 x + 7 = 0; x 1 = - 7 иx 2 = - 1, так какq = 7 > 0 иp = 8 > 0.

б) Если свободный член q приведенного уравнения (1) отрицателен (q < 0 ), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p < 0 , или отрицателен, если p > 0 .

Например,

x 2 + 4 x – 5 = 0; x 1 = - 5 иx 2 = 1, так какq = - 5 < 0 иp = 4 > 0;

x 2 – 8 x – 9 = 0; x 1 = 9 иx 2 = - 1, так какq = - 9 < 0 иp = - 8 < 0.

5. СПОСОБ: Решение уравнений способом «переброски».

Рассмотрим квадратное уравнение

ах2 + b х + с = 0, где а ≠ 0.

Умножая обе его части на а, получаем уравнение

а2 х2 + а b х + ас = 0.

Пусть ах = у , откуда х = у/а ; тогда приходим к уравнению

у2 + by + ас = 0,

равносильно данному. Его корни у1 и у 2 найдем с помощью теоремы Виета.

Окончательно получаем

х1 = у1 /а и х1 = у2 /а .

При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски» . Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Пример.

Решим уравнение 2х2 – 11х + 15 = 0.

Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение

у2 – 11у + 30 = 0.

Согласно теореме Виета

у1 = 5 х1 = 5/2 x 1 = 2,5

у2 = 6 x 2 = 6/2 x 2 = 3.

Ответ: 2,5; 3.

6. СПОСОБ: Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

А. Пусть дано квадратное уравнение

ах2 + b х + с = 0, где а ≠ 0.

1) Если, а+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю), то х1 = 1,

х2 = с/а.

Доказательство. Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнение

x 2 + b / a • x + c / a = 0.

Согласно теореме Виета

x 1 + x 2 = - b / a ,

x 1 x 2 = 1• c / a .

По условию а – b + с = 0, откуда b = а + с. Таким образом,

x1 + x2 = - а + b/a= -1 – c/a,

x1 x2 = - 1• ( - c/a),

т.е. х1 = -1 и х2 = c / a , что м требовалось доказать.

Примеры.

1) Решим уравнение 345х2 – 137х – 208 = 0.

Решение. Так как а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то

х1 = 1, х2 = c / a = -208/345.

Ответ: 1; -208/345.

2)Решим уравнение 132х2 – 247х + 115 = 0.

Решение. Так как а + b + с = 0 (132 – 247 + 115 = 0), то

х1 = 1, х2 = c / a = 115/132.

Ответ: 1; 115/132.

Б. Если второй коэффициент b = 2 k – четное число, то формулу корней

Пример.

Решим уравнение 3х2 — 14х + 16 = 0 .

Решение . Имеем: а = 3, b = — 14, с = 16, k = — 7 ;

D = k 2 – ac = (- 7)2 – 3 • 16 = 49 – 48 = 1, D > 0, два различных корня;

Ответ: 2; 8/3

В. Приведенное уравнение

х2 + рх + q = 0

совпадает с уравнением общего вида, в котором а = 1 , b = р и с = q . Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней

mirznanii.com